1. НОУ ІНТУЇТ | лекція | Інформаційно-логічні основи ЕОМ Розглянуто основні системи числення. системи...
2. Переклад цілих чисел
3. Переклад дробових чисел
4. Арифметичні основи ЕОМ
5. НОУ ІНТУЇТ | лекція | Інформаційно-логічні основи ЕОМ
6. системи числення
7. Переклад цілих чисел
8. Переклад дробових чисел
9. Арифметичні основи ЕОМ
10. НОУ ІНТУЇТ | лекція | Інформаційно-логічні основи ЕОМ
11. системи числення
12. Переклад цілих чисел
13. Переклад дробових чисел
14. Арифметичні основи ЕОМ

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Інформаційно-логічні основи ЕОМ

Розглянуто основні системи числення.

системи числення

Системою числення називається спосіб зображення чисел за допомогою обмеженого набору символів, що мають певні кількісні значення. Систему числення утворює сукупність правил і прийомів представлення чисел за допомогою набору знаків (цифр).

Розрізняють позиційні і непозиційної системи числення. У позиційних системах кожна цифра числа має певне політичне значення, який залежить від позиції цифри в послідовності, яка зображує число. Позиція цифри називається розрядом. У позиційній системі числення будь-яке число можна представити у вигляді:

де - -я цифра числа;

- кількість цифр у дробовій частині числа;

- кількість цифр в цілій частині числа;

- основа системи числення.

Підстава системи числення показує, у скільки разів "вага" -го розряду більше ( ) Розряду. Ціла частина числа відокремлюється від дробової частини точкою (коми).

Приклад 14.1. .

Відповідно до формули (14.1) це число формується з цифр з вагами розрядів:

Теоретично найбільш економічною системою числення для подання значення числа цифрами є система з основою , Що знаходяться між числами 2 і 3.

У всіх сучасних ЕОМ для подання числової інформації застосовується двійкова система числення. Це обумовлено:

• простіший реалізацією алгоритмів виконання арифметичних і логічних операцій;
• надійнішою фізичної реалізацією основних функцій, так як вони мають всього два стани (0 і 1);
• економічністю апаратної реалізації всіх схем ЕОМ.

при число різних цифр, використовуваних для запису чисел, обмежена безліччю з двох цифр (нуль і одиниця). Крім двійкової системи числення, широкого поширення набули і похідні системи:

Вісімкова і шістнадцяткова системи числення є похідними від двійковій, так як і . Вони застосовуються в основному для більш компактного зображення двійковій інформації, так як запис значення чисел проводиться істотно меншим числом знаків

Приклад 14.2. число в двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення мають таке уявлення:

В табл. 14.1 наведено порівняльну уявлення чисел в різних системах числення: десяткового (10 с / с), двійковій (2 с / с), вісімковій (8 с / с) і шістнадцятковій (16 с / с).

За даними цієї таблиці можна виявити цілий ряд закономірностей:

У ЕОМ переклад з однієї системи в іншу здійснюється автоматично, за спеціальними програмами. Правила перекладу цілих і дробових чисел відрізняються.

Необхідно зробити кілька зауважень. У загальному випадку переклад будь-якого числа з дробом з однієї системи числення в іншу може призвести до появи ірраціональних чисел, що мають нескінченну кількість розрядів у дробовій частині чисел. Природно, що будь-який технічний пристрій, наприклад комп'ютер, може оперувати тільки з кінцевим числом цифр, які є старшими, найбільш значущими розрядами.

Ігнорування, відкидання молодших розрядів чисел призводить до їх округлення. При цьому різниця між округляється і отриманим числами називається помилкою округлення. Слід враховувати, що округлення результатів обчислень з будь-якого невипадковий правилом призводить до помилок з ненульовим зміщенням [83] .

Переклад цілих чисел

Ціле число з основою перекладається в систему числення з основою шляхом послідовного ділення числа на основі , Записаного у вигляді числа з підставою , До отримання залишку. Отримана частка слід знову ділити на підставу , І цей процес треба повторювати до тих пір, поки приватне не стане менше дільника.

Отримані залишки від ділення і останнє приватне записуються в порядку, зворотному отриманого при діленні. Сформований число і буде числом з підставою .

Приклад 14.3.

Переклад дробових чисел

Дробове число з основою перекладається в систему числення з основою шляхом послідовного множення << Eqn010.eps >> на підставу , Записане у вигляді числа з підставою . При кожному збільшенні ціла частина твору береться у вигляді чергової цифри відповідного розряду, а решта дрібна частина приймається за нове множимое. Число множень визначає розрядність отриманого результату, що представляє число в системі числення .

Приклад 14.4.

Так як двійкова, вісімкова і шістнадцяткова системи пов'язані через ступеня числа 2, то перетворення між ними можна ви-конувати іншим, більш простим способом. Для перекладу з шістнадцятковій (восьмеричної) системи числення в двійкову досить двійковим кодом записати шіснадцяткові коди цифр тетрадами (по 4 двійкових розряди) і тріадами (по 3 двійкових розряди) - для вісімкових цифр. Зворотній переклад з двійкового коду проводиться в зворотному порядку: двійкове число розбивається вліво і вправо від кордону цілої та дробової частин на тетради - для подальшого запису цифр в шістнадцятковому представленні, на тріади - для запису їх значень вісімковими цифрами.

Арифметичні основи ЕОМ

Подання числової інформації в комп'ютері

У комп'ютерах використовуються три види чисел: з фіксованою точкою (коми), з плаваючою точкою (коми) і двійково-десяткове подання. Точка (кома) - це мається на увазі межа цілої і дробової частин числа, розряди і формули (4.1).

Всі сучасні комп'ютери мають центральний процесор або центральне процесорний пристрій - CPU (Central Processing Unit), призначене для обробки чисел з фіксованою точкою. Однією з найважливіших його характеристик є розрядність - кількість двійкових розрядів, що представляють значення числа. Основною перевагою CPU служить простота алгоритмів виконання операцій і, відповідно, висока швидкість операцій.

У чисел з фіксованою точкою в двійковому форматі передбачається строго певне місце точки (коми). Зазвичай це місце визначається або перед першою цифрою числа, або після останньої цифри числа. Якщо точка фіксується перед першою значущою цифрою, то це означає, що число по модулю менше одиниці. Діапазон зміни значень чисел визначається нерівністю:

Якщо точка фіксується після останньої цифри, то це означає, що розрядні двійкові числа є цілими. Діапазон зміни їх значень становить:

Перед самим старшим з можливих цифрових розрядів двійкового числа фіксується його знак. Позитивні числа мають нульове значення знакового розряду, негативні - поодинокі. Кожна цифра двійкового числа займає один біт відповідного -розрядним формату.

Істотним недоліком подання чисел з фіксованою точкою служить той факт, що апроксимація малих чисел пов'язана з великою відносною помилкою. Для чисел же, що наближаються за величиною до максимально можливим ( ), Відносна помилка зменшується. Абсолютна ж помилка уявлення чисел з фіксованою точкою завжди лежить в одних і тих же межах незалежно від величини чисел.

Іншою формою подання чисел є уявлення їх у вигляді чисел з плаваючою точкою (коми). Подання чисел з плаваючою точкою необхідно використовувати, коли оброблювані числа мають дуже великий діапазон зміни. Ця ситуація є типовою для науково-технічних розрахунків (тригонометричні, експоненти, логарифми). Тому всі сучасні мікропроцесори як доповнення до CPU мають математичні співпроцесори. Їх зазвичай називають блоками або пристроями з плаваючою точкою - FPU (Floating Point Unit), або числовим розширенням процесора - NPX (Numeric Processor eXtension). Поєднання паралельно працюють CPU і FPU дозволяє домогтися більшої швидкості і більшої точності обчислень.

Числа з плаваючою точкою представляються у вигляді мантиси і порядку , Іноді це уявлення називають полулогарифмической формою числа. Наприклад, число можна представити у вигляді , при цьому , Підстава системи числення мається на увазі фіксованим і рівним десяти. Для двійкових чисел в цьому поданні також формується і порядок при підставі системи числення, що дорівнює двом.

що відповідає запису

Деталізація двійкового представлення чисел з плаваючою точкою і двійково-десяткова форма чисел докладно висвітлені в [88] . Оскільки їх уявлення і обробка базуються на двійковій арифметиці, розглянемо правила складання двійкових чисел.

Всі сучасні ЕОМ мають досить розвинену систему команд, що включає десятки і сотні машинних операцій. Однак виконання будь-якої операції засноване на використанні найпростіших микроопераций типу додавання і зсуву. Це дозволяє мати єдине арифметико-логічний пристрій для виконання будь-яких операцій, пов'язаних з обробкою інформації. Додавання двійкових цифр двох чисел і ілюструється табл. 14.2 .

Тут показані правила складання двійкових чисел , однойменних розрядів з урахуванням можливих переносів з попереднього розряду .

Подібні таблиці можна було б побудувати для будь-якої іншої арифметичної і логічної операції (віднімання, множення і т.д.), але саме дані цієї таблиці покладено в основу виконання будь-якої операції ЕОМ. Під знак чисел відводиться спеціальний знаковий розряд. Знак "+" кодується двійковим нулем, а знак "-" - одиницею. Дії над прямими кодами двійкових чисел при виконанні операцій створюють великі труднощі, пов'язані з необхідністю обліку значень знакових розрядів:

• по-перше, слід окремо обробляти значущі розряди чисел і розряди знака;
• по-друге, значення розряду знака впливає на алгоритм виконання операції, наприклад, складання може замінюватися відніманням і навпаки.

У всіх ЕОМ без винятку всі операції виконуються над числами, представленими спеціальними машинними кодами. Їх використання дозволяє обробляти знакові розряди чисел так само, як і цифрові розряди, а також замінювати операцію віднімання операцією додавання.

Розрізняють прямий код (П), зворотний код (ОК) і додатковий код (ДК) двійкових чисел.

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Інформаційно-логічні основи ЕОМ

Розглянуто основні системи числення.

системи числення

Системою числення називається спосіб зображення чисел за допомогою обмеженого набору символів, що мають певні кількісні значення. Систему числення утворює сукупність правил і прийомів представлення чисел за допомогою набору знаків (цифр).

Розрізняють позиційні і непозиційної системи числення. У позиційних системах кожна цифра числа має певне політичне значення, який залежить від позиції цифри в послідовності, яка зображує число. Позиція цифри називається розрядом. У позиційній системі числення будь-яке число можна представити у вигляді:

де - -я цифра числа;

- кількість цифр у дробовій частині числа;

- кількість цифр в цілій частині числа;

- основа системи числення.

Підстава системи числення показує, у скільки разів "вага" -го розряду більше ( ) Розряду. Ціла частина числа відокремлюється від дробової частини точкою (коми).

Приклад 14.1. .

Відповідно до формули (14.1) це число формується з цифр з вагами розрядів:

Теоретично найбільш економічною системою числення для подання значення числа цифрами є система з основою , Що знаходяться між числами 2 і 3.

У всіх сучасних ЕОМ для подання числової інформації застосовується двійкова система числення. Це обумовлено:

• простіший реалізацією алгоритмів виконання арифметичних і логічних операцій;
• надійнішою фізичної реалізацією основних функцій, так як вони мають всього два стани (0 і 1);
• економічністю апаратної реалізації всіх схем ЕОМ.

при число різних цифр, використовуваних для запису чисел, обмежена безліччю з двох цифр (нуль і одиниця). Крім двійкової системи числення, широкого поширення набули і похідні системи:

Вісімкова і шістнадцяткова системи числення є похідними від двійковій, так як і . Вони застосовуються в основному для більш компактного зображення двійковій інформації, так як запис значення чисел проводиться істотно меншим числом знаків

Приклад 14.2. число в двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення мають таке уявлення:

В табл. 14.1 наведено порівняльну уявлення чисел в різних системах числення: десяткового (10 с / с), двійковій (2 с / с), вісімковій (8 с / с) і шістнадцятковій (16 с / с).

За даними цієї таблиці можна виявити цілий ряд закономірностей:

У ЕОМ переклад з однієї системи в іншу здійснюється автоматично, за спеціальними програмами. Правила перекладу цілих і дробових чисел відрізняються.

Необхідно зробити кілька зауважень. У загальному випадку переклад будь-якого числа з дробом з однієї системи числення в іншу може призвести до появи ірраціональних чисел, що мають нескінченну кількість розрядів у дробовій частині чисел. Природно, що будь-який технічний пристрій, наприклад комп'ютер, може оперувати тільки з кінцевим числом цифр, які є старшими, найбільш значущими розрядами.

Ігнорування, відкидання молодших розрядів чисел призводить до їх округлення. При цьому різниця між округляється і отриманим числами називається помилкою округлення. Слід враховувати, що округлення результатів обчислень з будь-якого невипадковий правилом призводить до помилок з ненульовим зміщенням [83] .

Переклад цілих чисел

Ціле число з основою перекладається в систему числення з основою шляхом послідовного ділення числа на основі , Записаного у вигляді числа з підставою , До отримання залишку. Отримана частка слід знову ділити на підставу , І цей процес треба повторювати до тих пір, поки приватне не стане менше дільника.

Отримані залишки від ділення і останнє приватне записуються в порядку, зворотному отриманого при діленні. Сформований число і буде числом з підставою .

Приклад 14.3.

Переклад дробових чисел

Дробове число з основою перекладається в систему числення з основою шляхом послідовного множення << Eqn010.eps >> на підставу , Записане у вигляді числа з підставою . При кожному збільшенні ціла частина твору береться у вигляді чергової цифри відповідного розряду, а решта дрібна частина приймається за нове множимое. Число множень визначає розрядність отриманого результату, що представляє число в системі числення .

Приклад 14.4.

Так як двійкова, вісімкова і шістнадцяткова системи пов'язані через ступеня числа 2, то перетворення між ними можна ви-конувати іншим, більш простим способом. Для перекладу з шістнадцятковій (восьмеричної) системи числення в двійкову досить двійковим кодом записати шіснадцяткові коди цифр тетрадами (по 4 двійкових розряди) і тріадами (по 3 двійкових розряди) - для вісімкових цифр. Зворотній переклад з двійкового коду проводиться в зворотному порядку: двійкове число розбивається вліво і вправо від кордону цілої та дробової частин на тетради - для подальшого запису цифр в шістнадцятковому представленні, на тріади - для запису їх значень вісімковими цифрами.

Арифметичні основи ЕОМ

Подання числової інформації в комп'ютері

У комп'ютерах використовуються три види чисел: з фіксованою точкою (коми), з плаваючою точкою (коми) і двійково-десяткове подання. Точка (кома) - це мається на увазі межа цілої і дробової частин числа, розряди і формули (4.1).

Всі сучасні комп'ютери мають центральний процесор або центральне процесорний пристрій - CPU (Central Processing Unit), призначене для обробки чисел з фіксованою точкою. Однією з найважливіших його характеристик є розрядність - кількість двійкових розрядів, що представляють значення числа. Основною перевагою CPU служить простота алгоритмів виконання операцій і, відповідно, висока швидкість операцій.

У чисел з фіксованою точкою в двійковому форматі передбачається строго певне місце точки (коми). Зазвичай це місце визначається або перед першою цифрою числа, або після останньої цифри числа. Якщо точка фіксується перед першою значущою цифрою, то це означає, що число по модулю менше одиниці. Діапазон зміни значень чисел визначається нерівністю:

Якщо точка фіксується після останньої цифри, то це означає, що розрядні двійкові числа є цілими. Діапазон зміни їх значень становить:

Перед самим старшим з можливих цифрових розрядів двійкового числа фіксується його знак. Позитивні числа мають нульове значення знакового розряду, негативні - поодинокі. Кожна цифра двійкового числа займає один біт відповідного -розрядним формату.

Істотним недоліком подання чисел з фіксованою точкою служить той факт, що апроксимація малих чисел пов'язана з великою відносною помилкою. Для чисел же, що наближаються за величиною до максимально можливим ( ), Відносна помилка зменшується. Абсолютна ж помилка уявлення чисел з фіксованою точкою завжди лежить в одних і тих же межах незалежно від величини чисел.

Іншою формою подання чисел є уявлення їх у вигляді чисел з плаваючою точкою (коми). Подання чисел з плаваючою точкою необхідно використовувати, коли оброблювані числа мають дуже великий діапазон зміни. Ця ситуація є типовою для науково-технічних розрахунків (тригонометричні, експоненти, логарифми). Тому всі сучасні мікропроцесори як доповнення до CPU мають математичні співпроцесори. Їх зазвичай називають блоками або пристроями з плаваючою точкою - FPU (Floating Point Unit), або числовим розширенням процесора - NPX (Numeric Processor eXtension). Поєднання паралельно працюють CPU і FPU дозволяє домогтися більшої швидкості і більшої точності обчислень.

Числа з плаваючою точкою представляються у вигляді мантиси і порядку , Іноді це уявлення називають полулогарифмической формою числа. Наприклад, число можна представити у вигляді , при цьому , Підстава системи числення мається на увазі фіксованим і рівним десяти. Для двійкових чисел в цьому поданні також формується і порядок при підставі системи числення, що дорівнює двом.

що відповідає запису

Деталізація двійкового представлення чисел з плаваючою точкою і двійково-десяткова форма чисел докладно висвітлені в [88] . Оскільки їх уявлення і обробка базуються на двійковій арифметиці, розглянемо правила складання двійкових чисел.

Всі сучасні ЕОМ мають досить розвинену систему команд, що включає десятки і сотні машинних операцій. Однак виконання будь-якої операції засноване на використанні найпростіших микроопераций типу додавання і зсуву. Це дозволяє мати єдине арифметико-логічний пристрій для виконання будь-яких операцій, пов'язаних з обробкою інформації. Додавання двійкових цифр двох чисел і ілюструється табл. 14.2 .

Тут показані правила складання двійкових чисел , однойменних розрядів з урахуванням можливих переносів з попереднього розряду .

Подібні таблиці можна було б побудувати для будь-якої іншої арифметичної і логічної операції (віднімання, множення і т.д.), але саме дані цієї таблиці покладено в основу виконання будь-якої операції ЕОМ. Під знак чисел відводиться спеціальний знаковий розряд. Знак "+" кодується двійковим нулем, а знак "-" - одиницею. Дії над прямими кодами двійкових чисел при виконанні операцій створюють великі труднощі, пов'язані з необхідністю обліку значень знакових розрядів:

• по-перше, слід окремо обробляти значущі розряди чисел і розряди знака;
• по-друге, значення розряду знака впливає на алгоритм виконання операції, наприклад, складання може замінюватися відніманням і навпаки.

У всіх ЕОМ без винятку всі операції виконуються над числами, представленими спеціальними машинними кодами. Їх використання дозволяє обробляти знакові розряди чисел так само, як і цифрові розряди, а також замінювати операцію віднімання операцією додавання.

Розрізняють прямий код (П), зворотний код (ОК) і додатковий код (ДК) двійкових чисел.

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Інформаційно-логічні основи ЕОМ

Розглянуто основні системи числення.

системи числення

Системою числення називається спосіб зображення чисел за допомогою обмеженого набору символів, що мають певні кількісні значення. Систему числення утворює сукупність правил і прийомів представлення чисел за допомогою набору знаків (цифр).

Розрізняють позиційні і непозиційної системи числення. У позиційних системах кожна цифра числа має певне політичне значення, який залежить від позиції цифри в послідовності, яка зображує число. Позиція цифри називається розрядом. У позиційній системі числення будь-яке число можна представити у вигляді:

де - -я цифра числа;

- кількість цифр у дробовій частині числа;

- кількість цифр в цілій частині числа;

- основа системи числення.

Підстава системи числення показує, у скільки разів "вага" -го розряду більше ( ) Розряду. Ціла частина числа відокремлюється від дробової частини точкою (коми).

Приклад 14.1. .

Відповідно до формули (14.1) це число формується з цифр з вагами розрядів:

Теоретично найбільш економічною системою числення для подання значення числа цифрами є система з основою , Що знаходяться між числами 2 і 3.

У всіх сучасних ЕОМ для подання числової інформації застосовується двійкова система числення. Це обумовлено:

• простіший реалізацією алгоритмів виконання арифметичних і логічних операцій;
• надійнішою фізичної реалізацією основних функцій, так як вони мають всього два стани (0 і 1);
• економічністю апаратної реалізації всіх схем ЕОМ.

при число різних цифр, використовуваних для запису чисел, обмежена безліччю з двох цифр (нуль і одиниця). Крім двійкової системи числення, широкого поширення набули і похідні системи:

Вісімкова і шістнадцяткова системи числення є похідними від двійковій, так як і . Вони застосовуються в основному для більш компактного зображення двійковій інформації, так як запис значення чисел проводиться істотно меншим числом знаків

Приклад 14.2. число в двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення мають таке уявлення:

В табл. 14.1 наведено порівняльну уявлення чисел в різних системах числення: десяткового (10 с / с), двійковій (2 с / с), вісімковій (8 с / с) і шістнадцятковій (16 с / с).

За даними цієї таблиці можна виявити цілий ряд закономірностей:

У ЕОМ переклад з однієї системи в іншу здійснюється автоматично, за спеціальними програмами. Правила перекладу цілих і дробових чисел відрізняються.

Необхідно зробити кілька зауважень. У загальному випадку переклад будь-якого числа з дробом з однієї системи числення в іншу може призвести до появи ірраціональних чисел, що мають нескінченну кількість розрядів у дробовій частині чисел. Природно, що будь-який технічний пристрій, наприклад комп'ютер, може оперувати тільки з кінцевим числом цифр, які є старшими, найбільш значущими розрядами.

Ігнорування, відкидання молодших розрядів чисел призводить до їх округлення. При цьому різниця між округляється і отриманим числами називається помилкою округлення. Слід враховувати, що округлення результатів обчислень з будь-якого невипадковий правилом призводить до помилок з ненульовим зміщенням [83] .

Переклад цілих чисел

Ціле число з основою перекладається в систему числення з основою шляхом послідовного ділення числа на основі , Записаного у вигляді числа з підставою , До отримання залишку. Отримана частка слід знову ділити на підставу , І цей процес треба повторювати до тих пір, поки приватне не стане менше дільника.

Отримані залишки від ділення і останнє приватне записуються в порядку, зворотному отриманого при діленні. Сформований число і буде числом з підставою .

Приклад 14.3.

Переклад дробових чисел

Дробове число з основою перекладається в систему числення з основою шляхом послідовного множення << Eqn010.eps >> на підставу , Записане у вигляді числа з підставою . При кожному збільшенні ціла частина твору береться у вигляді чергової цифри відповідного розряду, а решта дрібна частина приймається за нове множимое. Число множень визначає розрядність отриманого результату, що представляє число в системі числення .

Приклад 14.4.

Так як двійкова, вісімкова і шістнадцяткова системи пов'язані через ступеня числа 2, то перетворення між ними можна ви-конувати іншим, більш простим способом. Для перекладу з шістнадцятковій (восьмеричної) системи числення в двійкову досить двійковим кодом записати шіснадцяткові коди цифр тетрадами (по 4 двійкових розряди) і тріадами (по 3 двійкових розряди) - для вісімкових цифр. Зворотній переклад з двійкового коду проводиться в зворотному порядку: двійкове число розбивається вліво і вправо від кордону цілої та дробової частин на тетради - для подальшого запису цифр в шістнадцятковому представленні, на тріади - для запису їх значень вісімковими цифрами.

Арифметичні основи ЕОМ

Подання числової інформації в комп'ютері

У комп'ютерах використовуються три види чисел: з фіксованою точкою (коми), з плаваючою точкою (коми) і двійково-десяткове подання. Точка (кома) - це мається на увазі межа цілої і дробової частин числа, розряди і формули (4.1).

Всі сучасні комп'ютери мають центральний процесор або центральне процесорний пристрій - CPU (Central Processing Unit), призначене для обробки чисел з фіксованою точкою. Однією з найважливіших його характеристик є розрядність - кількість двійкових розрядів, що представляють значення числа. Основною перевагою CPU служить простота алгоритмів виконання операцій і, відповідно, висока швидкість операцій.

У чисел з фіксованою точкою в двійковому форматі передбачається строго певне місце точки (коми). Зазвичай це місце визначається або перед першою цифрою числа, або після останньої цифри числа. Якщо точка фіксується перед першою значущою цифрою, то це означає, що число по модулю менше одиниці. Діапазон зміни значень чисел визначається нерівністю:

Якщо точка фіксується після останньої цифри, то це означає, що розрядні двійкові числа є цілими. Діапазон зміни їх значень становить:

Перед самим старшим з можливих цифрових розрядів двійкового числа фіксується його знак. Позитивні числа мають нульове значення знакового розряду, негативні - поодинокі. Кожна цифра двійкового числа займає один біт відповідного -розрядним формату.

Істотним недоліком подання чисел з фіксованою точкою служить той факт, що апроксимація малих чисел пов'язана з великою відносною помилкою. Для чисел же, що наближаються за величиною до максимально можливим ( ), Відносна помилка зменшується. Абсолютна ж помилка уявлення чисел з фіксованою точкою завжди лежить в одних і тих же межах незалежно від величини чисел.

Іншою формою подання чисел є уявлення їх у вигляді чисел з плаваючою точкою (коми). Подання чисел з плаваючою точкою необхідно використовувати, коли оброблювані числа мають дуже великий діапазон зміни. Ця ситуація є типовою для науково-технічних розрахунків (тригонометричні, експоненти, логарифми). Тому всі сучасні мікропроцесори як доповнення до CPU мають математичні співпроцесори. Їх зазвичай називають блоками або пристроями з плаваючою точкою - FPU (Floating Point Unit), або числовим розширенням процесора - NPX (Numeric Processor eXtension). Поєднання паралельно працюють CPU і FPU дозволяє домогтися більшої швидкості і більшої точності обчислень.

Числа з плаваючою точкою представляються у вигляді мантиси і порядку , Іноді це уявлення називають полулогарифмической формою числа. Наприклад, число можна представити у вигляді , при цьому , Підстава системи числення мається на увазі фіксованим і рівним десяти. Для двійкових чисел в цьому поданні також формується і порядок при підставі системи числення, що дорівнює двом.

що відповідає запису

Деталізація двійкового представлення чисел з плаваючою точкою і двійково-десяткова форма чисел докладно висвітлені в [88] . Оскільки їх уявлення і обробка базуються на двійковій арифметиці, розглянемо правила складання двійкових чисел.

Всі сучасні ЕОМ мають досить розвинену систему команд, що включає десятки і сотні машинних операцій. Однак виконання будь-якої операції засноване на використанні найпростіших микроопераций типу додавання і зсуву. Це дозволяє мати єдине арифметико-логічний пристрій для виконання будь-яких операцій, пов'язаних з обробкою інформації. Додавання двійкових цифр двох чисел і ілюструється табл. 14.2 .

Тут показані правила складання двійкових чисел , однойменних розрядів з урахуванням можливих переносів з попереднього розряду .

Подібні таблиці можна було б побудувати для будь-якої іншої арифметичної і логічної операції (віднімання, множення і т.д.), але саме дані цієї таблиці покладено в основу виконання будь-якої операції ЕОМ. Під знак чисел відводиться спеціальний знаковий розряд. Знак "+" кодується двійковим нулем, а знак "-" - одиницею. Дії над прямими кодами двійкових чисел при виконанні операцій створюють великі труднощі, пов'язані з необхідністю обліку значень знакових розрядів:

• по-перше, слід окремо обробляти значущі розряди чисел і розряди знака;
• по-друге, значення розряду знака впливає на алгоритм виконання операції, наприклад, складання може замінюватися відніманням і навпаки.

У всіх ЕОМ без винятку всі операції виконуються над числами, представленими спеціальними машинними кодами. Їх використання дозволяє обробляти знакові розряди чисел так само, як і цифрові розряди, а також замінювати операцію віднімання операцією додавання.

Розрізняють прямий код (П), зворотний код (ОК) і додатковий код (ДК) двійкових чисел.