Теорія ймовірностей з певним ступенем надійності може передбачити чисельні показники таких різнорідних подій, як народжуваність людей і урожай зернових, час появи плям на Сонці і котирування акцій на фондовому ринку, результати виборів і зростання населення і багато іншого.
Але ж все почалося з такого малошанованого заняття, як азартні ігри. І тому наведемо трохи історичних фактів про те, чому розумні і благородні люди заглибилися у вивчення проблеми, пов'язаної з підвищенням ймовірності виграшу в азартних іграх.
Теорія ймовірностей як наука зародилася в середині XVII - початку XVIII століття. Біля її витоків стояли такі видатні вчені як П'єр Ферма, Блез Паскаль і Християн Гюйгенс.
Поштовхом до того, щоб вони зайнялися проблемою азартних ігор, з'явився кавалер де Мере, який звернувся з листом до Паскалю з приводу так званої «завдання про окулярах».
Де Мері - філософ і літератор - цікавився математикою і листувався з багатьма видатними вченими свого часу.
У листі до Паскалю він пише: «Ви знаєте, що я відкрив рідкісні речі, які поважні математики ніколи не обговорювали. Про моїх відкриттях писали Ви, Ферма і Гюйгенс, які ними захоплювалися. Ця наука має багато цікавих речей, але які мені здаються не дуже корисними ».
Ось суть першого завдання, з якою де Мері звернувся до Паскалю. Двоє кидають гральну кістку, яка, як добре відомо будь-якій дитині, являє собою кубик з нанесеними на його межі точками - від 1 до 6. При киданні нагорі може виявитися будь-яка грань. Припустимо, що для виграшу вам потрібна грань з 6-ю точками. Починаючи з якого за рахунком кидка, ймовірність того, що випаде саме ця грань, буде найбільш велика, ніж інший результат?
Наведемо зміст другого завдання. Тепер одночасно підкидаються дві однакові гральні кістки. Починаючи з якого кидка ймовірність того, що одночасно випадуть дві шістки, буде найбільш велика?
Паскаль зав'язав листування з Ферма з приводу цих, а також деяких інших аналогічних завдань, результатом чого стало встановлення ними деяких загальних положень, які в подальшому лягли в основу теорії ймовірностей.
Трохи пізніше до них приєднався приїхав до Парижа Гюйгенс, що випустив 1657 р книгу «Про розрахунки при азартних іграх», що з'явилася першою великою роботою по теорії ймовірності.
Повернемося до двох завдань, поставлених де Мері, і постараємося з вами їх вирішити.
1-я задача кавалера де Мері з підкиданням однієї гральної кістки. При першому кидку ймовірність випадання будь-якої з шести граней дорівнює 1/6.
Отже, ймовірність того, що грань з бажаним для вас результатом (грань з шістьма точками) чи не випаде: Q = 5/6.
При другому кидку ця ймовірність небажаного результату буде дорівнює:
Q = (5/6) · (5/6) = 25/36 = 0,69444.
Отже, бажаний для вас результат при загальній ймовірності всіх подій, що дорівнює 1, складе: Р = 1 - Q = 0,30556.
Продовжимо наші міркування згідно з цим алгоритмом.
При 3-м кидку: Q = (5/6) 3 = 0,57870 і Р = 1 - Q = 0,42130.
При 4-м кидку: Q = (5/6) 4 = 0,48225 і Р = 1 - Q = 0,51775.
При 5-м кидку: Q = (5/6) 5 = 0,40188 і Р = 1 - Q = 0,59812.
Перервемо наші обчислення. З них видно, що вже після 4-го кидка гральної кістки ймовірність того, що ми отримаємо бажаний результат перевищить протилежний щодо 0,51775: 0,48225 = 1,0736 рази, а після 5-го в 1,4883 рази.
Отже, якщо ви вступите в подібну гру, то знайте, що тільки після чотирьох підкидань гральної кістки задумана вами цифра почне приносити успіх і ймовірність виграшу перевищить ймовірність програшу.
Відштовхуючись від отриманого результату, на основі методу індукції складемо загальну формулу розрахунку ймовірності настання події при подібного роду іграх або протіканні будь-яких аналогічних подій, що укладаються в розглянуту схему:
(1)
де К - число варіантів різних равновероятностних ситуацій, N - число повторення обраного варіанту.
З (1) отримаємо:
(2)
За формулою (2), задавшись імовірністю Р настання очікуваної події, можна розрахувати необхідну кількість варіантів випробувань N.
Розглянемо такий приклад. Ви прийшли в казино. Перед вами коло, на якому написані цифри від 1 до К. У кожному сеансі гри ви ставите на одну і ту ж цифру. Як пов'язана ймовірність виграшу з числом ваших ставок?
Результати розрахунку числа випробувань за формулою (2) при числі вгадується варіантів К = 10 в залежності від значення ймовірності виграшу Р в межах від 0,1 до 0,9 приведені в таблиці 1. Попередньо обчислені значення числа випробувань N округлені до цілого числа в більшу сторону (значення М).
Таблиця 1
Імовірність Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Число випробувань N 1 2,1 3,4 4,8 6,6 8,7 11, 4 15,3 21,9 Ціле число М 1 3 4 5 7 9 12 16 22
Аналогічні результати розрахунку при числі вгадується варіантів К = 50 і різних значеннях ймовірності Р від 0,1 до 0,9 приведені в табл. 2.
Таблиця 2
Імовірність Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Число випробувань N 5,2 11,0 17,7 25,3 34,3 45,4 59,6 79,7 114 Ціле число М 6 12 18 26 35 46 60 80 114
З отриманих даних випливає, наприклад, що для виграшу з ймовірністю не менше 0,5 потрібно провести при К = 10 не менше 7 ігор, а при К = 50 - 35 ігор.
Тупилев Іван Пилипович (1758-1821), шахрайський гра
2-я задача кавалера де Мері з підкиданням двох гральних кісток. Тут умови гри ускладнені.
Одночасно підкидаються дві гральні кістки. Виграш вважається в тому випадку, коли одночасно на обох кістках випаде одне і те ж число, наприклад, 6.
При першому кидку ймовірність випадання будь-якої з шести граней дорівнює 1/6, а отже, ймовірність одночасного випадання однієї і тієї ж межі на обох гральних кістках дорівнює 1/36.
Значить, ймовірність того, що грань з бажаним для вас результатом (грань з шістьма точками) чи не випаде Q = 35/36.
При другому кидку ця ймовірність небажаного результату вже складе:
Q = (353/6) · (35/36) = 0,945216.
Отже, бажаний для вас результат (обидві грані з шістьма точками) при загальній ймовірності всіх подій, що дорівнює 1, складе:
Р = 1 - Q = 0,054784.
Продовжимо наші міркування згідно з цим алгоритмом.
При 3-м кидку: Q = (35/36) 3 = 0,918960 і Р = 1 - Q = 0,08104.
При 4-м кидку: Q = (35/36) 4 = 0,893433 і Р = 1 - Q = 0,106567.
При 5-м кидку: Q = (35/36) 5 = 0,868615 і Р = 1 - Q = 0,131385.
Відштовхуючись від отриманого результату, на основі методу індукції знову складемо загальну формулу з розрахунку ймовірності настання події при подібного роду іграх або протіканні будь-яких аналогічних подій, що укладаються в розглянуту схему:
(3)
З (3) отримаємо:
(4)
Відповідно до формули (4) розрахуємо необхідну кількість проведення випробувань N, округлюються потім до цілого числа М, при числі вгадується варіантів К = 6 (випадок, запропонований до розгляду кавалером Мері) в залежності від значення ймовірності виграшу Р.
Результати такого розрахунку при зміні ймовірності Р від 0,1 до 0,9 і К = 6 наведені в таблиці 3.
Таблиця 3
Імовірність Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Число випробувань N 3,7 7,9 12,7 18,1 24,6 32,5 42,7 57,1 81,7 Ціле число М 4 8 13 19 25 33 43 58 82
З отриманих даних випливає, що при одночасному підкиданні двох гральних кісток ймовірність виграшу перевищить 0,5 тільки після 25-го кидка. Саме такий результат отримав Паскаль. Сам кавалер де Мере помилився на одиницю, вказавши цифру 24.
Звичайно, не можна вважати, що теорія ймовірностей виникла тільки як відгук на питання, висунуті азартними іграми. Тому були куди більш вагомі причини, такі як необхідність обробляти різноманітні статистичні дані і потреби страхових товариств в європейських державах.
Просто випадок з кавалером де Мері більш яскраво висвічує витоки виникнення нової теорії. Тим більше що сам Блез Паскаль був людиною виключно високих моральних якостей, значну частину життя прожили в монастирі Пор-Рояль, який належав ордену «Святого Бенедикта».
Паскаль знаменитий не тільки як математик і фізик, а й як філософ і публіцист. Видана на багатьох мовах книга «Думки пана Паскаля про релігію і деяких інших питаннях, знайдені після його смерті в його паперах» внесла неоціненний внесок у становлення європейської цивілізації (див. Про французькому вченому і філософа Блеза Паскаля ).
З усього викладеного можна зробити такий висновок: вивчайте теорію ймовірностей, але не захоплюйтеся азартними іграми. Надійного шляху виграшу в них немає і бути не може. Там, де править випадок, все носить імовірнісний характер.
В.І. Каганов, доктор технічних наук, професор МІРЕА
Починаючи з якого за рахунком кидка, ймовірність того, що випаде саме ця грань, буде найбільш велика, ніж інший результат?Починаючи з якого кидка ймовірність того, що одночасно випадуть дві шістки, буде найбільш велика?
Як пов'язана ймовірність виграшу з числом ваших ставок?
<
