Локальна теорема Муавра - Лапласа

Розглянемо послідовність з $ n $ незалежних дослідів, в кожному з яких подія $ A $ може статися з ймовірністю $ p $, або не відбутися - з ймовірністю $ q = 1-p $. Позначимо через () ймовірність того, що подія $ A $ відбудеться рівно $ k $ раз з $ n $ можливих.

В такому випадку величину () можна знайти за теоремою Бернуллі (див. Урок « Схема Бернуллі. Приклади розв'язання задач »):

Ця теорема прекрасно працює, однак у неї є недолік. Якщо $ n $ буде досить великим, то знайти значення () стає нереально через величезного обсягу обчислень. В цьому випадку працює Локальна теорема Муавра - Лапласа, яка дозволяють знайти наближене значення ймовірності:

Локальна теорема Муавра - Лапласа. Якщо в схемі Бернуллі число $ n $ велике, а число $ p $ відмінно від 0 і 1, тоді:

Функція () називається функцією Гаусса. Її значення давно обчислені і занесені в таблицю, якою можна користуватися навіть на контрольних роботах та іспитах.

Функція Гаусса володіє двома властивостями, які слід враховувати при роботі з таблицею значень:

1. (-) = () - функція Гаусса - парна;
2. При великих значеннях маємо: () ≈ 0.

Локальна теорема Муавра - Лапласа дає відмінне наближення формули Бернуллі, якщо число випробувань досить велике. Зрозуміло, формулювання «число випробувань досить велике» досить умовна, і в різних джерелах називаються різні цифри. наприклад:

1. Часто зустрічається вимога: · ·> 10. Мабуть, це мінімальна межа;
2. Інші пропонують працювати за цією формулою тільки для $ n> 100 $ і ·> 20.

На мій погляд, досить просто поглянути на умову задачі. Якщо видно, що стандартна теорема Бернуллі не працює через великий обсяг обчислень (наприклад, ніхто не буде вважати число 58! Або 45!), Сміливо використовуйте Локальну теорему Муавра - Лапласа.

До того ж, чим ближче значення ймовірностей $ q $ і $ p $ до 0,5, тим точніше формула. І, навпаки, при прикордонних значеннях (коли $ p $ близько до 0 або 1) Локальна теорема Муавра - Лапласа дає велику похибку, значно відрізняючись від справжньої теореми Бернуллі.

Однак будьте уважні! Багато репетитори з вищої математики самі помиляються в подібних розрахунках. Справа в тому, що в функцію Гаусса підставляється досить складне число, що містить арифметичний квадратний корінь і дріб. Це число обов'язково треба знайти ще до підстановки в функцію. Розглянемо всі на конкретних завданнях:

Завдання. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,512. Знайдіть ймовірність того, що серед 100 новонароджених буде рівно 51 хлопчик.

Отже, всього випробувань за схемою Бернуллі = 100. Крім того, = 0,512, = 1 - = 0,488.

Оскільки = 100 - це досить велике число, будемо працювати по Локальної теореми Муавра - Лапласа. Зауважимо, що · = 100 · 0,512 · 0,488 ≈ 25> 20. Маємо:

Оскільки ми округляли значення · до цілого числа, відповідь теж можна округлити: 0,07972 ≈ 0,08. Враховувати інші цифри просто немає сенсу.

Завдання. Телефонна станція обслуговує 200 абонентів. Для кожного абонента ймовірність того, що протягом однієї години він подзвонить на станцію, дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що протягом години зателефонують рівно 5 абонентів.

За схемою Бернуллі, = 200, = 0,02, = 1 - = 0,98. Зауважимо, що = 200 - це неабияке число, тому використовуємо Локальну теорему Муавра - Лапласа. Для початку знайдемо · = 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Звичайно, 4 - це занадто мало, тому результати будуть неточними. Проте, маємо:

Округлимо відповідь до другого знака після коми: 0,17605 ≈ 0,18. Враховувати більше знаків все одно не має сенсу, оскільки ми округляли · = 3,92 ≈ 4 (до точного квадрата).

Завдання. Магазин отримав 1000 пляшок горілки. Імовірність того, що під час перевезення пляшка розіб'ється, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що магазин отримає рівно дві розбитих пляшки.

За схемою Бернуллі маємо: = 1000, = 0,003, = 0,997. Звідси · = 2,991 ≈ 1,732 (підібрали найближчий точний квадрат). Оскільки число = 1000 досить велике, підставляємо всі числа в формулу Локальної теореми Муавра - Лапласа:

Ми свідомо залишаємо лише один знак після коми (насправді там вийде 0,1949 ...), оскільки спочатку використовували досить грубі оцінки. Зокрема: 2,991 ≈ 1,732. Трійка в чисельнику всередині функції Гаусса виникла з виразу · = 1000 · 0,003 = 3.

Дивіться також:

1. Навіщо потрібна інтегральна теорема Муавра-Лапласа і як її правильно застосовувати?
2. Схема Бернуллі. Приклади розв'язання задач
3. Площа кола
4. Рівняння дотичної до графіка функції
5. Специфіка роботи з логарифмами в завданні B15
6. Завдання B5: площа фігури без клітин