НОУ ІНТУЇТ | лекція | Елементи математичної статистики

1. 5.3. Побудова функції розподілу і щільності розподілу Нормальний розподіл
2. приклад 5.3
3. 5.4. Побудова гістограми розподілу випадкової величини
4. Експоненціальне або показове розподіл
5. приклад 5.4
6. 1 спосіб. Гістограма з довільними сегментами розбиття
7. 2 спосіб. Побудова матриці гістограми
8. Основні підсумки
9. Завдання для самостійного виконання

5.3. Побудова функції розподілу і щільності розподілу

Нормальний розподіл

Функція щільності нормального розподілу ймовірності випадкової величини має вигляд

де m середнє, - середньоквадратичне відхилення. Тоді функція нормального розподілу буде:

приклад 5.3

Для СВ, розподіленої за нормальним законом побудуємо функцію розподілу ймовірності, функцію щільності розподілу ймовірності та графіки.

У MathCAD функції розподілу знаходяться в категорії Probaility distribution, функції щільності розподілу знаходяться в категорії Probability density. Використовуємо функцію pnorm () і dnorm ().

функція - розраховує в точці x значення функції розподілу ймовірності для нормального закону із середнім m і середньоквадратичним відхиленням .

функція - розраховує в точці x значення функції щільності розподілу ймовірності для нормального закону із середнім m і середньоквадратичним відхиленням .

На лістингу ( рис.5.3 , рис.5.4 ) Створені два вектора СВ з нормальним розподілом і різними параметрами m і : NR і NR1. У векторі NR (і NR1) кожне число має нормальний розподіл з середнім m і середньоквадратичним відхиленням .

Побудовано дві функції розподілу: FN (x) - для 1 елемента вектора і FN1 (x) - для 1 елемента вектора . Показані графік функцій розподілу FN (x) і FN1 (x).

,

,

,

,

Лістинг рішення прикладу 5.3. Функції розподілу FN (x) і FN1 (x) для нормального закону і їх графіки

,

Лістинг рішення прикладу 5.3. Функції щільності розподілу DN (x) і DN1 (x) для нормального закону і їх графіки

5.4. Побудова гістограми розподілу випадкової величини

Гістограмою називається графік, аппроксимирующий по випадковим даними щільність їх розподілу. При побудові гістограми область значень випадкової величини (а, b) розбивається на деяку кількість n сегментів, а потім підраховується відсоток попадання даних в кожен сегмент. Для побудови гістограм в MathCAD є кілька вбудованих функцій. Розглянемо дві функції

Функція hist (int, x) - повертає вектор частоти попадання випадкової величини х в інтервали, які визначаються вектором сегментів int на відрізку (ab), сегменти знаходяться в порядку зростання a <int <b.

Функція - histogram (bin, х) - повертає двовимірну матрицю на відрізку (ab), 1 стовпчик якої містить середини розбиття відрізка на bin сегментів, 2 стовпець - вектор частоти попадання випадкової величини х.

На прикладі експоненціального розподілу випадкової величини з параметром продемонструємо технологію побудови гістограми розподілу.

Експоненціальне або показове розподіл

Безперервна випадкова величина х, яка бере невід'ємні значення в напівнескінченної інтервалі , Має експоненціальне розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд:

Функція розподілу в цьому випадку має вигляд:

де - позитивна постійна, параметр експоненціального розподілу.

Числові характеристики експоненціального розподілу визначаються за такими формулами:

Математичне очікування дисперсія , середньоквадратичне відхилення

приклад 5.4

Побудуємо гістограму розподілу для випадкової величини з експоненціальним розподілом. Розглянемо два способи побудови.

1 спосіб. Гістограма з довільними сегментами розбиття

Спочатку генеруємо сукупність СВ, розподілених по експоненціальному закону з параметром . За допомогою функції . побудуємо масив R з n = 1000 випадкових величин. Область зміни R лежить в межах від a = min (R) до b = max (R). Для побудови гістограми використовуємо функцію hist (int, x) для 50 інтервалів int = 50. Лістинг розрахунку, де отримані вектор частоти попадання даних в інтервали гістограми GR і вектор сегментів int, показаний на pіс.5.5 . MathCAD створює GR і int у вигляді векторів і представляє у вигляді таблиць, де 1 стовпець номер елементів, 2 стовпець значення GR і int, відповідно. Графіки побудовані на площині для індексної змінної і у вигляді для матриці в де гістограми і просторової кривої.

,

,

,

,

збільшити зображення
Мал.5.5.

Лістинг рішення прикладу 5.4. 1 спосіб побудови гістограми. Матриця гістограми GR, матриця інтервалів int. Гістграмма на площині і в тривимірному просторі.

2 спосіб. Побудова матриці гістограми

Для побудови гістограми масиву R з 1000 СВ використовуємо функцію histogram (bin, х). Область зміни R [a, b] також розіб'ємо на 50 інтервалів. MathCAD створює двовимірну матрицю GR1, 1 стовпець якої містить середини розбиття відрізка (a, b) на bin = 50 сегментів, 2 стовпець - вектор частоти попадання випадкової величини R. рис.5.6 представляє матрицю гістограми GR1 і її графіки. На площині графік від індексної змінної: - по осі OX перший стовпець матриці, по осі OY - другий стовпець матриці. У просторі графік від матриці у вигляді гістограми і поверхні.

збільшити зображення
Мал.5.6.

Лістинг рішення прикладу 5.4. 2 спосіб побудови гістограми. Матриця гістограми GR1. Гістграмми на площині і в тривимірному просторі

Основні підсумки

У лекції представлені методи роботи з випадковими величинами. Розглянуто функції всіх категорій: Random numbers, pnorm. dnorm ;). Statistics. Probaility distribution, Probability density, за допомогою яких можна генерувати випадкові послідовності з заданим розподілом, розраховувати ймовірності, знаходити статистичні характеристики, будувати гістограми розподілів. На прикладах показано побудову графіків випадкових величин у вигляді одновимірної функції індексної змінної і у вигляді сукупності точок поверхні.

Завдання для самостійного виконання

1. Генерувати вектор з 5000 випадкових чисел, розподілених по рівномірному закону на відрізку [a, b]: a = 5 b = 40. Показати графічне представлення точок випадкової величини. Розрахувати статистичні характеристики.
   1. Для згенерованого вектора побудувати функцію розподілу і щільність розподілу. Показати графіки і матриці розподілів.
   2. Побудувати гістограму розподілу для згенерованої матриці. Показати графіки і матриці.
2. Згенерувати послідовність з 1000 випадкових чисел, розподілених по заданому закону. Побудувати гістограму. Розрахувати характеристики розподілу: математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, медіану. Варіанти законів розподілу:
   • Нормальний закон розподілу, математичне сподівання 3, середньоквадратичне відхилення 1,5.
   • Закон Пуассона, середнє 10.
   • Логнормального закон, середнє 5, відхилення 2.
   • Гамма-розподіл .
   • Нормальний закон розподілу, матожидание 5, відхилення 1.
   • Гамма-розподіл (функція rgamma категорії random numbers), .
   • Закон Пуассона, середнє 3.
   • Бета-розподіл,

Ключові терміни

випадкова величина - величина, яка в результаті досвіду може прийняти тільки одне з безлічі значень, до досвіду, невідомо, яке саме.

функція розподілу - ймовірність P для випадкової величини X виконання нерівності X <х, де х - одне з можливих значень СВ, F (x) = P (X <x), F (x) - функція аргументу х.

щільність розподілу ймовірності - для неперервної випадкової величини X перша похідна від функції розподілу F (x): .

Random number () - категорія функцій для генерації послідовності випадкових величин.

Statistics () - категорія функцій для розрахунку числових характеристик випадкових величин.

Probaility distribution - категорія функцій для побудови розподілу ймовірності випадкових величин.

Probability density - категорія функцій для побудови розподілу щільності ймовірності випадкових величин.

hist () - функція обчислення частотного розподілу випадкової величини для побудови гістограми з довільними сегментами розбиття.

histogram () - функція обчислення частотного розподілу випадкової величини для побудови гістограми з розбивкою на рівні сегменти.