- Випадковий експеримент. Безліч елементарних фіналів. випадкові події Теорія ймовірностей - це розділ...
- Приклади розв'язання задач
Випадковий експеримент. Безліч елементарних фіналів. випадкові події
Теорія ймовірностей - це розділ математики, присвячений вивченню математичних моделей випадкових експериментів, тобто таких експериментів, результати яких заздалегідь невідомі.
Наприклад, одним з випадкових експериментів, часто використовуваних в теорії ймовірностей, є підкидання грального кубика. Результатом цього випадкового експерименту буде кількість очок, що випали.
Нагадаємо, що гральна кістка - це кубик з однорідного матеріалу, межі якого пронумеровані числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 за допомогою нанесених на межі кубика точок.
Безліч всіх можливих результатів випадкового експерименту називають безліччю елементарних подій. Це безліч прийнято позначати великої грецької буквою Ω. Елементи безлічі Ω називають елементарними подіями.
Елементарні події часто називають елементарними наслідками або, просто, наслідками, а безліч всіх елементарних подій називають простором елементарних подій, безліччю елементарних фіналів або простором елементарних фіналів.
У теорії ймовірностей випадковими подіями є підмножини безлічі елементарних фіналів Ω. Наприклад, в класичному визначенні ймовірності подією є кожна підмножина безлічі елементарних подій Ω. У більш складних імовірнісних моделях подіями є не всі підмножини Ω, а тільки частина з них.
Випадкові події часто для простоти називають подіями.
Класичне визначення ймовірності
Якщо в результаті випадкового експерименту може реалізуватися один з декількох рівно можливих варіантів, то використовують класичне визначення ймовірності.
Класичне визначення ймовірності є наріжним каменем теорії ймовірностей і вводиться в наступному порядку.
Визначається безліч елементарних подій (результати випадкового експерименту).
У класичному визначенні ймовірності як безлічі елементарних подій Ω використовують довільне безліч, що складається з кінцевого числа елементів. Елементи безлічі Ω (елементарні події) позначають
ω1, ω2, ..., ω N,
де N - число елементів множини Ω.
Імовірність кожного елементарного події вважають рівною
і позначають буквою P. Таким чином,
Визначаються випадкові події.
порожнім безліччю
називають безліч, в якому немає жодного елемента. Порожня множина міститься в будь-якому безлічі, тобто є підмножиною будь-якої множини. У класичному визначенні ймовірності як випадкових подій використовуються всілякі підмножини безлічі Ω, включаючи порожня множина
і все безліч Ω. Випадкові події прийнято позначати буквами A, B, C, ...
Визначається ймовірність кожного випадкового події.
Якщо A - випадкова подія, то ймовірність події A вважають рівною кількістю
де через m позначено кількість елементарних подій, що входять в безліч A.
Імовірність випадкової події A прийнято позначати P (A).
Таким чином, справедливо рівність
причому, оскільки чисельник у правій частині формули (1) не перевищує знаменника, то ймовірність будь-якого випадкового події A укладена в межах
Зокрема, якщо
або A = Ω, то справедливі рівності
Зауваження. При обчисленні ймовірності події A елементарні події, що входять в подію A, називають сприятливими наслідками і формулу (1) записують у вигляді
Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Експеримент полягає в підкиданні грального кубика один раз. Описати схему введення класичного визначення ймовірності для цього експерименту.
Рішення . Позначимо через ω k подія, яка полягає в тому, що при підкиданні грального кубика випадає число k. Тоді елементарні події
ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 (5)
складають безліч елементарних подій Ω:
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}. (6)
Оскільки безліч Ω складається з 6 елементів, то ймовірність кожного елементарного події дорівнює 
:
Кожне випадкове подія є підмножиною Ω і складається з декількох елементарних подій. Так, наприклад, випадкова подія
A = {випало парне число}
складається з трьох елементарних подій
A = {ω1, ω3, ω5}.
В силу формули (4) справедливо рівність
Приклад 2. Експеримент полягає в підкиданні монети один раз. Описати схему введення класичного визначення ймовірності для цього експерименту.
Рішення . Позначимо російськими буквами Г і Ч елементарні події, що складаються в тому, що при підкиданні монети випадають герб (Г) або число (Ч) відповідно. тоді
Ω = {Г, Ч},
Приклад 3. Знайти ймовірність того, що при одноразовому підкиданні двох гральних кісток сума випали чисел буде більше, ніж 8.
Рішення . Сформуємо таку таблицю, в якій записані всілякі суми чисел, що випали при підкиданні двох гральних кісток. Перший рядок таблиці - це числа, що випали при киданні першої кістки, а перший стовпець таблиці - це числа, що випали при киданні другий кістки. На перетині рядка і стовпця вказана сума чисел, що випали на двох кістках.
У цій таблиці всі можливі результати експерименту представлені в 36 клітинах. При цьому в 10 клітинах, виділених в таблиці жовтим кольором, результати перевищують число 8. Тому шукана ймовірність
Відповідь. 
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ з математики .
Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».
Запис по телефону (495) 509-28-10
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить
У нас також для школярів організовані
<
