Кикоин А.К. Обертання Землі і прискорення вільного падіння // Квант. - 1984. - № 1. - С. 32-34.
За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"
У підручнику «Фізика 8» на сторінці 104 сказано: «Обертання Землі призводить до того, що прискорення вільного падіння, виміряна відносно будь-якого тіла на поверхні Землі, на різних широтах по-різному». З'ясуємо причини цієї відмінності.
Відносність руху складається, як відомо, в тому, що рух одного і того ж тіла, але щодо різних систем відліку, що рухаються одна відносно одної, виглядає по-різному. Різні траєкторії руху, швидкості, прискорення.
Якщо одна з систем відліку рухається відносно іншої з постійною швидкістю (без прискорення), то швидкість \ (~ \ vec \ upsilon \) тіла щодо однієї з систем відліку, умовно прийнятої за нерухому, дорівнює \ (~ \ vec \ upsilon_1 + \ vec \ upsilon_2 \), де \ (~ \ vec \ upsilon_1 \) - швидкість тіла щодо рухомої системи і \ (~ \ vec \ upsilon_2 \) - швидкість рухомої системи відносно нерухомої. Прискорення тіла щодо обох систем в такому випадку один і той же (воно, як кажуть, абсолютно).
Інша річ, якщо одна з систем відліку рухається відносно іншої з прискоренням. Тоді не тільки швидкість, але і прискорення теж щодо: прискорення \ (~ \ vec a \) тіла відносно нерухомої системи відліку дорівнює сумі прискорень \ (~ \ vec a_1 \) і \ (~ \ vec a_2 \), де \ (~ \ vec a_1 \) - прискорення тіла щодо рухомої системи і \ (~ \ vec a_2 \) - прискорення рухомої системи відносно нерухомої, тобто
\ (~ \ Vec a = \ vec a_1 + \ vec a_2 \). (1)
Одним із прикладів саме такого випадку служить вільне падіння тіл на Землю. Оскільки Земля обертається навколо своєї осі, система відліку, пов'язана з будь-якою точкою на її поверхні, рухається з прискоренням. Тому прискорення падаючого тіла відносно нерухомої системи повинна дорівнювати сумі прискорення тіла щодо рухомої системи і прискорення рухомої системи відносно нерухомої.
Нерухома система відліку може бути пов'язана з яким-небудь неземним тілом, наприклад з Сонцем. Але можна поступити і простіше, не покидаючи Землю. Адже і на поверхні Землі є точки, які не беруть участі в її обертанні. Це - полюси Землі, через які проходить вісь обертання. Отже, щоб знайти значення прискорення падаючого тіла відносно нерухомої системи відліку, потрібно виміряти прискорення вільного падіння на земній полюсі. Для цього на полюсі можна встановити лінійку з поділками (рис. 1) і, наприклад, за допомогою стробоскопічного методу, виміряти прискорення падаючого уздовж лінійки тіла. Лінійка і пов'язана з нею система координат і будуть для нас нерухомою системою відліку.
Мал. 1
Так як вільне падіння - рух прямолінійний, досить однієї координатної осі, яку природно направити уздовж лінійки, тобто уздовж осі обертання Землі.
Результат такого виміру легко передбачити. Згідно з другим законом Ньютона і закону всесвітнього тяжіння,
\ (~ Mg = G \ frac {mM} {R ^ 2} \),
де m - маса тіла, g - прискорення падаючого тіла, G - гравітаційна стала, М - маса Землі і R - її радіус. Звідси можна знайти значення прискорення падаючого тіла відносно нерухомої системи відліку:
\ (~ G = G \ frac {M} {R ^ 2} \).
Його ми і отримаємо, якщо виконаємо описаний досвід.
Такий же досвід можна провести в будь-якому іншому місці на Землі. Для цього треба знову встановити вертикальну лінійку і з нею пов'язати систему відліку. Але тепер це буде система відліку, що рухається з прискоренням відносно нерухомої системи.
Мал. 2
Розташуємо, наприклад, лінійку на екваторі (рис. 2). Тут наша система відліку (лінійка) рухається разом з Землею по колу екватора з доцентрові прискоренням, рівним ω 2 R, де ω - кутова швидкість обертання Землі і R - її радіус. Направлено це прискорення до центру Землі, як і прискорення g, що повідомляється тілу силою тяжіння [1] . Виміряний на екваторі прискорення g 'буде дещо іншим, порівнюючи з прискоренням на полюсі. Відповідно до формули (1), ми можемо написати [2]
\ (~ G = g '+ \ omega ^ 2 R \). (2)
Ця формула і вказує на те, що прискорення падаючого тіла відносно нерухомої системи відліку (g) дорівнює сумі прискорень тіла щодо рухомої системи (g ') і рухомої системи відносно нерухомої (ω 2 R). З формули (2) видно, що прискорення g 'вільного падіння тіла на екваторі не дорівнює значенню прискорення g, виміряного на полюсі. Воно менше g на величину ω 2 R:
\ (~ G '= g - \ omega ^ 2 R \).
На скільки ж чисельно відрізняється значення g 'від g? Щоб це дізнатися, потрібно, очевидно, обчислити значення величини ω 2 R. Кутову швидкість про обертання Землі можна знайти, знаючи період обертання Землі Т = 24 год = 86400 с:
\ (~ \ Omega = \ frac {2 \ pi} {T} \ approx 7,3 \ cdot 10 ^ {- 5} c ^ {- 1} \).
Радіус Землі на екваторі R = 6378 км ≈ 6,38 · 106 м. Значить,
\ (~ \ Omega ^ 2 R \ approx (7,3 \ cdot 10 ^ {- 5}) ^ 2 \ cdot 6,38 \ cdot 10 ^ 6 m / c ^ 2 \ approx 3,4 \ cdot 10 ^ { -2} m / c ^ 2 \).
На стільки і відрізняється виміряне прискорення вільного падіння на екваторі від того прискорення, яке спостерігалося б, якби Земля не скоювала добового обертання і система відліку, пов'язана з нею, не рухалася б прискорено.
У більшості випадків цим невеликим розходженням в значеннях прискорення вільного падіння нехтують. Але виявити його можна порівняно просто. Так, наприклад, годинник з маятником (період коливань маятника залежить від прискорення вільного падіння) на екваторі відстають від таких же годин на полюсі приблизно на 3 хвилини за добу.
Зауважимо на закінчення, що відмінність в значеннях прискорення вільного падіння не означає, що і сила тяжіння тіла до Землі різна в різних місцях на Землі. Ця сила визначається законом всесвітнього тяжіння
\ (~ F = G \ frac {mM} {R ^ 2} \),
і на неї обертання Землі не робить ніякого впливу.
Інша працювати з величиною, званої вагою тіла. Вага тіла - це сила, з якою тіло внаслідок притягання до Землі діє на опору або підвіс. Якщо опора або підвіс покояться щодо Землі або рухаються щодо неї без прискорення, то вага чисельно дорівнює силі тяжіння. Але ваги, за допомогою яких вимірюється вага тіла, в будь-якому місці Землі, крім її полюсів, рухаються з прискоренням. Тому всюди, крім полюсів, вага тіла не дорівнює силі тяжіння. Найменшим вага тіла буде на екваторі. Втім, значення ваги на екваторі і на полюсі розрізняються так само мало, як і значення прискорення вільного падіння.
- ↑ Ми знехтували відмінністю в силі прітяженмн на екваторі і на полюсі, викликаним нестрогой сферичністю Землі.
- ↑ Ми тут не користуємося векторними позначеннями, так як всі три прискорення спрямовані уздовж координатної осі і їх модулі рівні проекція на цю вісь.
<
