Анотація: В лекції триває розповідь про лінійних просторах з точки зору векторної алгебри
Лінійна залежність векторів. Розмірність і базис лінійного простору
Визначення 6. Вектори а1, а2, ..., ак лінійного простору називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа 
, Не рівні одночасно нулю, при яких виконується:
Визначення 7. Якщо рівність (8.1) здійснимо лише при всіх 
, То вектори а1, а2, ..., ак називаються лінійно незалежними.
Визначення 8. Якщо має місце рівність 
, То говорять, що вектор b є лінійною комбінацією векторів а1, а2, ..., ак, або лінійно виражається через ці вектори.
Зауважимо, що якщо вектори а1, а2, ..., ак лінійно залежні, то тоді, принаймні, один з векторів може бути лінійно виражений через інші. Це випливає з самого визначення 6, так як, якщо хоча б один з 
, То на нього можна виконати поділ інших 
і тоді будемо мати 
, де 
. Вірно і зворотне твердження, що якщо один з векторів лінійно виражається через інші, то всі ці вектори в сукупності лінійно залежні.
Зауважимо, що якщо вектори a і b НЕ колінеарні або a, b і c НЕ компланарність, то такі вектори є лінійно незалежними відповідно на площині або в просторі.
Покажемо це на прикладі трьох некомпланарних векторів a, b і c. Доказ проведемо методом від противного, припустивши, що зазначені вектори хоча і не компланарність, але лінійно залежні. Тоді має виконуватися умова лінійної залежності векторів, тобто 
і нехай при цьому 
. тоді на 
можна розділити ліву і праву частину рівняння і в результаті матимемо вираз 
, Яке суперечить визначенню 10 ( "" ), Тобто хоча вектори a, b і c НЕ компланарність, але вектор a лінійно виражається через два інших b і c, що говорить (за визначенням 8) про їх лінійної залежності. З цього випливає, що вектор a повинен бути лінійно незалежний з векторами b і c. Цікаво, що в тривимірному просторі будь-які чотири просторових вектора будуть лінійно залежними.
Два ненульових вектора a і b ортогональні, якщо вони перпендикулярні (проекція вектора a на b і проекція вектора b на a дорівнюють нулю). тоді записують 
. Такі вектори завжди лінійно незалежні.
Якщо ненульові вектори a, b і c попарно ортогональні 
, То тоді вони утворюють трійку лінійно незалежних векторів.
Визначення 9. Рангом системи векторів називається максимальна кількість її лінійно незалежних векторів.
Визначення 10. Лінійне простір називається n -мірним, якщо в ньому можна знайти n лінійно незалежних векторів, а будь-яка система, що складається з більшої кількості векторів, є лінійно залежною в цьому просторі.
Наприклад, вектори, що лежать на одній прямій, утворюють одномірний простір, в якому тільки один незалежний вектор, а всі інші можуть бути виражені лінійними співвідношеннями через нього. На площині безліч векторів утворює двовимірне простір, тобто в цьому просторі визначені тільки два незалежних вектора.
Визначення 11. Якщо простір має кінцеве безліч лінійно незалежних векторів, то його називають конечномірні, а якщо в ньому можна знайти скільки завгодно багато лінійно незалежних векторів, то - безкінечномірні.
Визначення 12. Сукупність n лінійно незалежних одиничних векторів n мірного простору називають базисом n мірного простору.
Зауважимо, що через базисні вектори можуть бути виражені будь-які інші вектори, які визначаються в даному базисі.
Теорема. Кожен вектор х лінійного n мірного простору можна представити, і до того ж єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації векторів базису.
Доказ теореми складається з двох частин. Спочатку ми доведемо можливість висловити будь-який довільний вектор через базис лінійного простору, а потім, що розкладання довільного вектора з даного базису єдине.
Нехай довільний базис n мірного простору R і деякий довільний вектор 
. Так як кожні n + 1 векторів n мірного простору R лінійно залежні (визначення 6), то система, яку утворюють вектори l1, l2, ..., ln і x повинна бути лінійно залежною. А це означає, що виконується рівність
де 
- числа одночасно не рівні нулю. При цьому ясно, що , Так як в противному випадку хоча б одне з чисел 
не було подібне б нулю і тоді рівність (8.2) мало б вигляд що, в свою чергу, показувало б лінійну залежність базисних векторів. Висловимо x з рівності (8.2), розділивши на 
коефіцієнти при li і перенісши їх в праву частину. Після виконання зазначених перетворень маємо
покладемо 
. тоді
Доведемо тепер, що розкладання (8.4) вектора x з даного базису l1, l2, ..., ln єдине. Припустимо, що вектор x в просторі R має два різних розкладання
Тоді віднімемо з одного рівності інше, і так як в лівих частинах рівності стоїть один і той же вектор, то одержимо
отже, маємо систему
Останній вираз повністю доводить теорему.
Визначення 13. Числа х1, х2, ..., хn в розкладанні (8.4) вектора x по базису l1, l2, ..., ln називають координатами вектора в цьому базисі і позначають як х = (х1, х2, ..., хn) .
<
