Статьи

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Лінійна залежність векторів. Розмірність і базис лінійного простору. Лінійні операції в координатах

  1. Лінійна залежність векторів. Розмірність і базис лінійного простору

Анотація: В лекції триває розповідь про лінійних просторах з точки зору векторної алгебри

Лінійна залежність векторів. Розмірність і базис лінійного простору

Визначення 6. Вектори а1, а2, ..., ак лінійного простору називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа Визначення 6 , Не рівні одночасно нулю, при яких виконується:

Визначення 7. Якщо рівність (8.1) здійснимо лише при всіх Визначення 7 , То вектори а1, а2, ..., ак називаються лінійно незалежними.

Визначення 8. Якщо має місце рівність Визначення 8 , То говорять, що вектор b є лінійною комбінацією векторів а1, а2, ..., ак, або лінійно виражається через ці вектори.

Зауважимо, що якщо вектори а1, а2, ..., ак лінійно залежні, то тоді, принаймні, один з векторів може бути лінійно виражений через інші. Це випливає з самого визначення 6, так як, якщо хоча б один з Зауважимо, що якщо вектори а1, а2, , То на нього можна виконати поділ інших і тоді будемо мати , де . Вірно і зворотне твердження, що якщо один з векторів лінійно виражається через інші, то всі ці вектори в сукупності лінійно залежні.

Зауважимо, що якщо вектори a і b НЕ колінеарні або a, b і c НЕ компланарність, то такі вектори є лінійно незалежними відповідно на площині або в просторі.

Покажемо це на прикладі трьох некомпланарних векторів a, b і c. Доказ проведемо методом від противного, припустивши, що зазначені вектори хоча і не компланарність, але лінійно залежні. Тоді має виконуватися умова лінійної залежності векторів, тобто Покажемо це на прикладі трьох некомпланарних векторів a, b і c і нехай при цьому . тоді на можна розділити ліву і праву частину рівняння і в результаті матимемо вираз , Яке суперечить визначенню 10 ( "" ), Тобто хоча вектори a, b і c НЕ компланарність, але вектор a лінійно виражається через два інших b і c, що говорить (за визначенням 8) про їх лінійної залежності. З цього випливає, що вектор a повинен бути лінійно незалежний з векторами b і c. Цікаво, що в тривимірному просторі будь-які чотири просторових вектора будуть лінійно залежними.

Два ненульових вектора a і b ортогональні, якщо вони перпендикулярні (проекція вектора a на b і проекція вектора b на a дорівнюють нулю). тоді записують Два ненульових вектора a і b ортогональні, якщо вони перпендикулярні (проекція вектора a на b і проекція вектора b на a дорівнюють нулю) . Такі вектори завжди лінійно незалежні.

Якщо ненульові вектори a, b і c попарно ортогональні Якщо ненульові вектори a, b і c попарно ортогональні   , То тоді вони утворюють трійку лінійно незалежних векторів , То тоді вони утворюють трійку лінійно незалежних векторів.

Визначення 9. Рангом системи векторів називається максимальна кількість її лінійно незалежних векторів.

Визначення 10. Лінійне простір називається n -мірним, якщо в ньому можна знайти n лінійно незалежних векторів, а будь-яка система, що складається з більшої кількості векторів, є лінійно залежною в цьому просторі.

Наприклад, вектори, що лежать на одній прямій, утворюють одномірний простір, в якому тільки один незалежний вектор, а всі інші можуть бути виражені лінійними співвідношеннями через нього. На площині безліч векторів утворює двовимірне простір, тобто в цьому просторі визначені тільки два незалежних вектора.

Визначення 11. Якщо простір має кінцеве безліч лінійно незалежних векторів, то його називають конечномірні, а якщо в ньому можна знайти скільки завгодно багато лінійно незалежних векторів, то - безкінечномірні.

Визначення 12. Сукупність n лінійно незалежних одиничних векторів n мірного простору називають базисом n мірного простору.

Зауважимо, що через базисні вектори можуть бути виражені будь-які інші вектори, які визначаються в даному базисі.

Теорема. Кожен вектор х лінійного n мірного простору можна представити, і до того ж єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

Доказ теореми складається з двох частин. Спочатку ми доведемо можливість висловити будь-який довільний вектор через базис лінійного простору, а потім, що розкладання довільного вектора з даного базису єдине.

Нехай довільний базис n мірного простору R і деякий довільний вектор Нехай довільний базис n мірного простору R і деякий довільний вектор . Так як кожні n + 1 векторів n мірного простору R лінійно залежні (визначення 6), то система, яку утворюють вектори l1, l2, ..., ln і x повинна бути лінійно залежною. А це означає, що виконується рівність

де де   - числа одночасно не рівні нулю - числа одночасно не рівні нулю. При цьому ясно, що , Так як в противному випадку хоча б одне з чисел не було подібне б нулю і тоді рівність (8.2) мало б вигляд що, в свою чергу, показувало б лінійну залежність базисних векторів. Висловимо x з рівності (8.2), розділивши на коефіцієнти при li і перенісши їх в праву частину. Після виконання зазначених перетворень маємо

покладемо покладемо . тоді

Доведемо тепер, що розкладання (8.4) вектора x з даного базису l1, l2, ..., ln єдине. Припустимо, що вектор x в просторі R має два різних розкладання

Тоді віднімемо з одного рівності інше, і так як в лівих частинах рівності стоїть один і той же вектор, то одержимо

отже, маємо систему

Останній вираз повністю доводить теорему.

Визначення 13. Числа х1, х2, ..., хn в розкладанні (8.4) вектора x по базису l1, l2, ..., ln називають координатами вектора в цьому базисі і позначають як х = (х1, х2, ..., хn) .

Новости

Где купить бленда

На одной из семейных фотосессий, ребенок уронил мою бленду, они конечно же оплатили принесенный ущерб, но я не знал где купить замену именно такого качества. Поискал в интернете, но доставка долгая,

Держатель для iphone 5 в машину

Мобильный телефон - это то, без чего современная жизнь просто невооброзима, этот гаджет настолько уверенно и стремительно занял место в нашей жизни, что без него практически каждый буквально из дома

Аренда платья для фотосессии ????
Вы часто видите красивые фотокарточки девушек в роскошных платьях    Большинство думают, что не смогут себе позволить данную фотосессию, ведь покупать платье " на один раз" никому не хочется    Для

Подарочная упаковка
Есть мнение, что упаковка для подарка – это все равно что одежда для человека. Соответственно, по ней будут судить и о чувстве стиля. Конечно, не самого презента, а о вашем. Новый год – это отличный повод

Регулировка пластиковых окон
Во-первых, найти на боковой поверхности створки цапфы – подвижные части прижимного механизма. Их детали выступают над поверхностью больше других элементов. Во-вторых, осмотреть цапфы и обнаружить эксцентрики

Входные двери
Белгород прекрасный город, но криминогенная обстановка в нем продолжает оставаться напряженной. Поэтому входные двери в белгороде должны быть не только красивыми, но и прочными, устойчивыми ко взлому

Заказ суши
Большинство из нас знают свои страхи. Мы можем бояться высоты, пауков или полетов на самолете. Один из наиболее распространенных страхов-это боязнь голода. При столкновении с такой ситуацией происходит

Линолеум
Для любого помещения, с любым функциональным назначением, важно выбрать подходящее по всем параметрам напольное покрытие. Для этого следует учитывать множество нюансов, от технических и стилистически

Книги подарочные
Говорят, книга — лучший подарок. И это правда. Ведь что бы нам ни подарили, радость от этого рано или поздно иссякнет: или когда мы съедим этот подарок, или когда наиграемся им. А книга способна


 PHILIP LAURENCE   Pioneer   Антистресс   Аромалампы   Бизнес   Игры   Косметика   Оружие   Панно   Романтика   Спорт   Фен-Шуй   Фен-Шуй Аромалампы   Часы   ЭКСТРИМ   ЭМОЦИИ   Экскурсии   визитницы   подарки для деловых людей   фотоальбомы  
— сайт сделан на студии « Kontora #2 »
E-mail: [email protected]



  • Карта сайта