Статьи

Нормальний розподіл

Норм а льно распредел е ня, одне з найважливіших розподілів ймовірностей. Термін «Н. р. »застосовують як по відношенню до розподілів ймовірностей випадкових величин, так і по відношенню до спільних розподілів ймовірностей декількох випадкових величин (т. е. до распредсленіям випадкових векторів).

Розподіл ймовірностей випадкової величини Х називається нормальним, якщо воно має щільність ймовірності

(*) . (*)

Сімейство Н. р. (*) Залежить, т. О., Від двох параметрів а і s. При цьому математичне очікування Х одно а, дисперсія Х дорівнює s 2. Крива Н. р. у = р (х; а, s) симетрична щодо ординати, що проходить через точку х = а, і має в цій точці єдиний максимум, рівний Сімейство Н . Зі зменшенням s крива Н. р. стає все більш і більш гостровершинності (див. рис.). Зміна а при постійному s не міняє форму кривої, а викликає лише її зсув по осі абсцис. Площа, укладена під кривою Н. р., Завжди дорівнює одиниці. При a = 0, s = 1 соответствуюших функція розподілу дорівнює

. .

У загальному випадку функція розподілу Н. р. (*) F (х; а, s) може бути обчислена за формулою F (x; а, s) = Ф (t), де t = - а) / s. Для функції Ф (t) (і кількох її похідних) складені обширні таблиці. Для Н. р. вірогідність нерівності У загальному випадку функція розподілу Н , Що дорівнює 1 Ф (k) + Ф (- k), убуває досить швидко з ростом k (див. Таблицю).

k

1

0,31731

2

0,04550

3

0,00269

4

0,00006

У багатьох практичних питаннях при розгляді Н. р. нехтують тому можливістю відхилень від а, що перевищують 3 s, - т. зв. правило трьох сигма (відповідна ймовірність, як видно з таблиці, менше 0,003). Ймовірне відхилення для Н. р. одно 0,67449 s.

Н. р. зустрічається у великій кількості додатків. З давніх-давен відомі спроби пояснення цієї обставини. Теоретичне обґрунтування виняткової ролі Н. р. дають граничні теореми теорії ймовірностей (див. також Лапласа теорема , Ляпунова теорема ). Якісно відповідний результат може бути пояснено таким чином: Н. р. служить хорошим наближенням кожен раз, коли розглянута випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, максимальна з яких мала в порівнянні зі всією сумою.

Н. р. може з'являтися також як точне рішення деяких завдань (в рамках прийнятої математичної моделі явища). Така ситуація в теорії випадкових процесів (В одній з основних моделей броунівського руху ). Класичні приклади виникнення Н. р. як точного належать К. Гауса (Закон розподілу помилок спостереження) і Дж. Максвеллові (Закон розподілу швидкостей молекул).

Спільне розподіл кількох випадкових величин X 1, X 2, ..., X s називається нормальним (багатовимірним нормальним), якщо відповідна щільність ймовірності має вигляд:

, де   , , де ,

qk, l = ql, k - позитивно певна квадратична форма. Постійна З визначається з того умови, що інтеграл від р по всьому простору дорівнює 1. Параметри a1, ..., as рівні математичним очікуванням X1, ..., Xs відповідно, а коефіцієнт qk, l можуть бути виражені через дисперсії s 1 2 , ..., s s 2 цих величин і коефіцієнт кореляції s k, l між Xk і Xl. Загальна кількість параметрів, які задають Н. р., Так само

(S + 1) (s + 2) / 2 - 1

і швидко росте з ростом s (воно дорівнює 2 при s = 1, 20 при s = 5 і 65 при s = 10). Багатовимірне Н. р. є основною моделлю статистичного аналізу багатовимірного . Воно використовується також в теорії випадкових процесів (де розглядають також Н. р. В нескінченновимірних просторах).

Щодо питань, пов'язаних з оцінкою параметрів Н. р. за результатами спостережень, див. статті малі вибірки і несмещенная оцінка . Про перевірку гіпотези нормальності см. непараметричні методи (В математичній статистиці).

Літ. см. при ст. розподілу .

Ю. В. Прохоров.

Прохоров

Криві щільності нормального розподілу для різних значень параметрів а і s: I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1.

Новости

Где купить бленда

На одной из семейных фотосессий, ребенок уронил мою бленду, они конечно же оплатили принесенный ущерб, но я не знал где купить замену именно такого качества. Поискал в интернете, но доставка долгая,

Держатель для iphone 5 в машину

Мобильный телефон - это то, без чего современная жизнь просто невооброзима, этот гаджет настолько уверенно и стремительно занял место в нашей жизни, что без него практически каждый буквально из дома

Аренда платья для фотосессии ????
Вы часто видите красивые фотокарточки девушек в роскошных платьях    Большинство думают, что не смогут себе позволить данную фотосессию, ведь покупать платье " на один раз" никому не хочется    Для

Подарочная упаковка
Есть мнение, что упаковка для подарка – это все равно что одежда для человека. Соответственно, по ней будут судить и о чувстве стиля. Конечно, не самого презента, а о вашем. Новый год – это отличный повод

Регулировка пластиковых окон
Во-первых, найти на боковой поверхности створки цапфы – подвижные части прижимного механизма. Их детали выступают над поверхностью больше других элементов. Во-вторых, осмотреть цапфы и обнаружить эксцентрики

Входные двери
Белгород прекрасный город, но криминогенная обстановка в нем продолжает оставаться напряженной. Поэтому входные двери в белгороде должны быть не только красивыми, но и прочными, устойчивыми ко взлому

Заказ суши
Большинство из нас знают свои страхи. Мы можем бояться высоты, пауков или полетов на самолете. Один из наиболее распространенных страхов-это боязнь голода. При столкновении с такой ситуацией происходит

Линолеум
Для любого помещения, с любым функциональным назначением, важно выбрать подходящее по всем параметрам напольное покрытие. Для этого следует учитывать множество нюансов, от технических и стилистически

Книги подарочные
Говорят, книга — лучший подарок. И это правда. Ведь что бы нам ни подарили, радость от этого рано или поздно иссякнет: или когда мы съедим этот подарок, или когда наиграемся им. А книга способна


 PHILIP LAURENCE   Pioneer   Антистресс   Аромалампы   Бизнес   Игры   Косметика   Оружие   Панно   Романтика   Спорт   Фен-Шуй   Фен-Шуй Аромалампы   Часы   ЭКСТРИМ   ЭМОЦИИ   Экскурсии   визитницы   подарки для деловых людей   фотоальбомы  
— сайт сделан на студии « Kontora #2 »
E-mail: [email protected]



  • Карта сайта