Статьи

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Елементи математичної статистики

  1. 5.3. Побудова функції розподілу і щільності розподілу Нормальний розподіл
  2. приклад 5.3
  3. 5.4. Побудова гістограми розподілу випадкової величини
  4. Експоненціальне або показове розподіл
  5. приклад 5.4
  6. 1 спосіб. Гістограма з довільними сегментами розбиття
  7. 2 спосіб. Побудова матриці гістограми
  8. Основні підсумки
  9. Завдання для самостійного виконання

5.3. Побудова функції розподілу і щільності розподілу

Нормальний розподіл

Функція щільності нормального розподілу ймовірності випадкової величини має вигляд

де m середнє, де m середнє,   - середньоквадратичне відхилення - середньоквадратичне відхилення. Тоді функція нормального розподілу буде:

приклад 5.3

Для СВ, розподіленої за нормальним законом побудуємо функцію розподілу ймовірності, функцію щільності розподілу ймовірності та графіки.

У MathCAD функції розподілу знаходяться в категорії Probaility distribution, функції щільності розподілу знаходяться в категорії Probability density. Використовуємо функцію pnorm () і dnorm ().

функція функція   - розраховує в точці x значення функції розподілу ймовірності для нормального закону із середнім m і середньоквадратичним відхиленням - розраховує в точці x значення функції розподілу ймовірності для нормального закону із середнім m і середньоквадратичним відхиленням .

функція функція   - розраховує в точці x значення функції щільності розподілу ймовірності для нормального закону із середнім m і середньоквадратичним відхиленням - розраховує в точці x значення функції щільності розподілу ймовірності для нормального закону із середнім m і середньоквадратичним відхиленням .

На лістингу ( рис.5.3 , рис.5.4 ) Створені два вектора СВ з нормальним розподілом і різними параметрами m і На лістингу (   рис : NR і NR1. У векторі NR (і NR1) кожне число має нормальний розподіл з середнім m і середньоквадратичним відхиленням .

Побудовано дві функції розподілу: FN (x) - для 1 елемента вектора Побудовано дві функції розподілу: FN (x) - для 1 елемента вектора   і FN1 (x) - для 1 елемента вектора і FN1 (x) - для 1 елемента вектора . Показані графік функцій розподілу FN (x) і FN1 (x).

, ,

, ,

, ,

, ,


Мал.5.3.

Лістинг рішення прикладу 5.3. Функції розподілу FN (x) і FN1 (x) для нормального закону і їх графіки

, ,


Мал.5.4.

Лістинг рішення прикладу 5.3. Функції щільності розподілу DN (x) і DN1 (x) для нормального закону і їх графіки

5.4. Побудова гістограми розподілу випадкової величини

Гістограмою називається графік, аппроксимирующий по випадковим даними щільність їх розподілу. При побудові гістограми область значень випадкової величини (а, b) розбивається на деяку кількість n сегментів, а потім підраховується відсоток попадання даних в кожен сегмент. Для побудови гістограм в MathCAD є кілька вбудованих функцій. Розглянемо дві функції

Функція hist (int, x) - повертає вектор частоти попадання випадкової величини х в інтервали, які визначаються вектором сегментів int на відрізку (ab), сегменти знаходяться в порядку зростання a <int <b.

Функція - histogram (bin, х) - повертає двовимірну матрицю на відрізку (ab), 1 стовпчик якої містить середини розбиття відрізка на bin сегментів, 2 стовпець - вектор частоти попадання випадкової величини х.

На прикладі експоненціального розподілу випадкової величини з параметром На прикладі експоненціального розподілу випадкової величини з параметром   продемонструємо технологію побудови гістограми розподілу продемонструємо технологію побудови гістограми розподілу.

Експоненціальне або показове розподіл

Безперервна випадкова величина х, яка бере невід'ємні значення в напівнескінченної інтервалі Безперервна випадкова величина х, яка бере невід'ємні значення в напівнескінченної інтервалі   , Має експоненціальне розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд: , Має експоненціальне розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд:

Функція розподілу в цьому випадку має вигляд:

де де   - позитивна постійна, параметр експоненціального розподілу - позитивна постійна, параметр експоненціального розподілу.

Числові характеристики експоненціального розподілу визначаються за такими формулами:

Математичне очікування Математичне очікування   дисперсія   , середньоквадратичне відхилення дисперсія , середньоквадратичне відхилення

приклад 5.4

Побудуємо гістограму розподілу для випадкової величини з експоненціальним розподілом. Розглянемо два способи побудови.

1 спосіб. Гістограма з довільними сегментами розбиття

Спочатку генеруємо сукупність СВ, розподілених по експоненціальному закону з параметром Спочатку генеруємо сукупність СВ, розподілених по експоненціальному закону з параметром . За допомогою функції . побудуємо масив R з n = 1000 випадкових величин. Область зміни R лежить в межах від a = min (R) до b = max (R). Для побудови гістограми використовуємо функцію hist (int, x) для 50 інтервалів int = 50. Лістинг розрахунку, де отримані вектор частоти попадання даних в інтервали гістограми GR і вектор сегментів int, показаний на pіс.5.5 . MathCAD створює GR і int у вигляді векторів і представляє у вигляді таблиць, де 1 стовпець номер елементів, 2 стовпець значення GR і int, відповідно. Графіки побудовані на площині для індексної змінної і у вигляді для матриці в де гістограми і просторової кривої.

, ,

, ,

, ,

, ,


збільшити зображення
Мал.5.5.

Лістинг рішення прикладу 5.4. 1 спосіб побудови гістограми. Матриця гістограми GR, матриця інтервалів int. Гістграмма на площині і в тривимірному просторі.

2 спосіб. Побудова матриці гістограми

Для побудови гістограми масиву R з 1000 СВ використовуємо функцію histogram (bin, х). Область зміни R [a, b] також розіб'ємо на 50 інтервалів. MathCAD створює двовимірну матрицю GR1, 1 стовпець якої містить середини розбиття відрізка (a, b) на bin = 50 сегментів, 2 стовпець - вектор частоти попадання випадкової величини R. рис.5.6 представляє матрицю гістограми GR1 і її графіки. На площині графік від індексної змінної: - по осі OX перший стовпець матриці, по осі OY - другий стовпець матриці. У просторі графік від матриці у вигляді гістограми і поверхні.


збільшити зображення
Мал.5.6.

Лістинг рішення прикладу 5.4. 2 спосіб побудови гістограми. Матриця гістограми GR1. Гістграмми на площині і в тривимірному просторі

Основні підсумки

У лекції представлені методи роботи з випадковими величинами. Розглянуто функції всіх категорій: Random numbers, pnorm. dnorm У лекції представлені методи роботи з випадковими величинами ;). Statistics. Probaility distribution, Probability density, за допомогою яких можна генерувати випадкові послідовності з заданим розподілом, розраховувати ймовірності, знаходити статистичні характеристики, будувати гістограми розподілів. На прикладах показано побудову графіків випадкових величин у вигляді одновимірної функції індексної змінної і у вигляді сукупності точок поверхні.

Завдання для самостійного виконання

  1. Генерувати вектор з 5000 випадкових чисел, розподілених по рівномірному закону на відрізку [a, b]: a = 5 b = 40. Показати графічне представлення точок випадкової величини. Розрахувати статистичні характеристики.
    1. Для згенерованого вектора побудувати функцію розподілу і щільність розподілу. Показати графіки і матриці розподілів.
    2. Побудувати гістограму розподілу для згенерованої матриці. Показати графіки і матриці.
  2. Згенерувати послідовність з 1000 випадкових чисел, розподілених по заданому закону. Побудувати гістограму. Розрахувати характеристики розподілу: математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, медіану. Варіанти законів розподілу:
    • Нормальний закон розподілу, математичне сподівання 3, середньоквадратичне відхилення 1,5.
    • Закон Пуассона, середнє 10.
    • Логнормального закон, середнє 5, відхилення 2.
    • Гамма-розподіл .
    • Нормальний закон розподілу, матожидание 5, відхилення 1.
    • Гамма-розподіл (функція rgamma категорії random numbers), .
    • Закон Пуассона, середнє 3.
    • Бета-розподіл,

Ключові терміни

випадкова величина - величина, яка в результаті досвіду може прийняти тільки одне з безлічі значень, до досвіду, невідомо, яке саме.

функція розподілу - ймовірність P для випадкової величини X виконання нерівності X <х, де х - одне з можливих значень СВ, F (x) = P (X <x), F (x) - функція аргументу х.

щільність розподілу ймовірності - для неперервної випадкової величини X перша похідна від функції розподілу F (x): щільність розподілу ймовірності - для неперервної випадкової величини X перша похідна від функції розподілу F (x): .

Random number () - категорія функцій для генерації послідовності випадкових величин.

Statistics () - категорія функцій для розрахунку числових характеристик випадкових величин.

Probaility distribution - категорія функцій для побудови розподілу ймовірності випадкових величин.

Probability density - категорія функцій для побудови розподілу щільності ймовірності випадкових величин.

hist () - функція обчислення частотного розподілу випадкової величини для побудови гістограми з довільними сегментами розбиття.

histogram () - функція обчислення частотного розподілу випадкової величини для побудови гістограми з розбивкою на рівні сегменти.

Новости

Где купить бленда

На одной из семейных фотосессий, ребенок уронил мою бленду, они конечно же оплатили принесенный ущерб, но я не знал где купить замену именно такого качества. Поискал в интернете, но доставка долгая,

Держатель для iphone 5 в машину

Мобильный телефон - это то, без чего современная жизнь просто невооброзима, этот гаджет настолько уверенно и стремительно занял место в нашей жизни, что без него практически каждый буквально из дома

Игрушки на елку
Елка является одним из самых главных символов Нового года. Уже с наступлением декабря большинство людей начинает присматриваться к этим лесным красавицам, а в конце месяца практически каждая квартира


 PHILIP LAURENCE   Pioneer   Антистресс   Аромалампы   Бизнес   Игры   Косметика   Оружие   Панно   Романтика   Спорт   Фен-Шуй   Фен-Шуй Аромалампы   Часы   ЭКСТРИМ   ЭМОЦИИ   Экскурсии   визитницы   подарки для деловых людей   фотоальбомы  
— сайт сделан на студии « Kontora #2 »
E-mail: [email protected]



  • Карта сайта