Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової події. Під подією розуміється будь-яке явище, яке відбувається в результаті здійснення певного комплексу умов і які можна неодноразово повторювати. Здійснення цього комплексу умов називають експериментом (досвідом, випробуванням, наглядом). Таким чином, будь-яка подія в теорії ймовірностей розглядаються як результат деякого експерименту. Тому події часто називають наслідками. Наприклад, кидання кубика можна вважати випробуванням, яке можна неодноразово повторювати, а отриманий результат - результатом випробування.
Подія називається випадковою, якщо воно при одних і тих же умовах може як статися, так і не відбутися. Випадковими будуть, наприклад, події: а) при підкиданні грального кубика випаде 6 очок; б) при пострілі в мішень куля потрапить в «десятку»; в) по дорозі в школу ви зустрінете чорну кішку.
Щоб говорити про випадковість або невипадковість якоїсь події, потрібно мати можливість неодноразово спостерігати за ним. Недарма кожен з перерахованих прикладів починається зі слів «при ...» - тобто, при виконанні певних умов. Ці умови можуть створюватися спеціально або виникати в навколишньому нас життя.
Випадковим експериментом називають комплекс дій або умов, які можна багаторазово повторювати, а результат, до якого вони призводять, заздалегідь непередбачуваний. З прикладами випадкових експериментів ви, напевно, стикалися і раніше: а) підкидання монети або грального кубика; б) проведення лотереї; в) стрілянина по мішені; г) підйом рівня води під час весняної повені. Останній приклад показує, що випадкові експерименти може здійснювати і сама природа - в цьому випадку нам залишається лише спостерігати за їх наслідками.
Зупинимося ще раз на двох найважливіших властивості випадкового досвіду - непередбачуваності і повторюваності.
Першим важливим властивістю випадкового досвіду є його непередбачуваність. Ми не можемо заздалегідь передбачити на яку сторону впаде підкинута вгору монета або кубик; в яку точку мішені потрапить куля.
Другим важливим властивістю випадкового досвіду є його повторюваність: ми (або природа) можемо повторювати досвід необмежену кількість разів в одних і тих же (або дуже близьких) умовах.
Теорія ймовірностей вивчає унікальні експерименти, які не можна повторити багаторазово, навіть якщо їх результати непередбачувані.
Події будемо позначати великими літерами латинського алфавіту: A, B, C і т. Д.
Подія називається неможливими, якщо при проведенні даного випадкового експерименту ніколи не відбувається. Наприклад, події: а) при підкиданні грального кубика випаде 7 очок; б) при підкиданні трьох монет число орлів виявиться дорівнює числу решек, є, очевидно, неможливими.
Подія називається достовірною, якщо при проведенні даного випадкового експерименту воно обов'язково станеться. Наприклад, події: а) при підкиданні грального кубика випаде менше 7 очок; б) при підкиданні трьох монет число орлів виявиться не дорівнює числу решек, є, очевидно, достовірними.
Події A і B називаються несумісними, якщо настання одного з них виключає можливість появи іншого. Наприклад, при підкиданні монети можуть наступити дві події: випаде «орел» або «решка». Однак, одночасно ці події, при одному підкиданні, з'явиться не можуть. Якщо в результаті випробування можливо одночасна поява подій A і B, то такі події називаються спільними. Наприклад, випадання парного числа очок при підкиданні грального кубика (подія А) і числа очок, кратного трьом (подія В) будуть спільними, бо випадання шести очок означає наступ і події А, і події В.
Можливими наслідками випадкового експерименту називаються всі взаємовиключні один одного варіанти, одним з яких він повинен завершитися. В результаті експерименту завжди відбувається один і тільки один з його результатів. Тобто, з одного боку, в одному експерименті не можуть відбутися відразу два результату, з іншого - експеримент не може завершитися взагалі без всякого результату. Результати експерименту називають елементарними, якщо їх не можна поділити на більш прості. Елементарні результати в теорії ймовірностей називають ще елементарними подіями.
Зауважимо, що число можливих результатів випадкового досвіду може бути будь-яким - від двох до нескінченності. Наприклад, досвід з монетою має всього два можливих результати (орел і решка), а досвід з кубиком - шість. Але далеко не у всіх випадках всі можливі результати досвіду настільки очевидні.
З коробки з одним білим і двома чорними кулями витягують навмання одну кулю. Скільки можливих результатів у цього досвіду? Можна сказати два: куля виявиться або білим, або чорним. А можна сказати три: білий, чорний-1, чорний-2. І те, і інше правильно, просто в другому випадку результати обрані більш елементарними, а сам досвід описується ними більш детально.
Будь-яке Неелементарні подія може наступити при різних результатах досвіду. Всі такі результати називають сприятливими для цієї події. Сприятливі вони в тому сенсі, що призводять до його настання. Наприклад, для випадкового події «На кубику випаде парне число очок» сприятливими наслідками будуть 2, 4 і 6.
Якщо позначити безліч всіх можливих результатів досвіду великий грецькою буквою 
(Читається омега), то кожен результат можна розглядати як елемент цієї множини 
, А будь-яке випадкове подія A - як його підмножина 
, Що складається з сприятливих для нього результатів.
При цьому неможливе і достовірне події виходять як два окремих випадки таких підмножин: неможливого події відповідає порожня множина результатів 
; достовірного події відповідає безліч всіх результатів досвіду .
Отже, для будь-якого випадкового події A всі результати експерименту діляться на два безлічі: сприятливі для цієї події і всі інші, які можна назвати несприятливими для нього. Якщо розглядати подію A як підмножина в безлічі всіх можливих результатів, то воно буде складатися з сприятливих результатів.
Наприклад, виймання з колоди однієї карти можна поставити у відповідність безліч елементарних подій (карт) W з 36 випадками. Тоді події B = {виймуть туз} відповідає підмножина B = {туз пік, туз хрести, туз Буби, туз черви}.
Приклад 14.1. Нехай експеримент полягає в підкиданні один раз гральної кістки. Позначимо через X число випали очок. Побудувати простір елементарних подій і вказати склад підмножин, які відповідають таким подіям: A = {X кратно3}, B = {X - непарній}, C = {X <7}, D = {X> 7}.
Рішення . Очевидно, що за елементарні події тут найкраще взяти події: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, які утворюють повну групу несумісних подій. За допомогою цих елементарних подій можна легко описати всі перераховані в завданні події:
A = {3; 6}, B = {1; 3; 5}, C = , D = Æ.
Над подіями можна здійснювати ті ж самі операції, що й для множин. Зокрема:
Твором AB подій A і B називають подія, що відбувається тоді й тільки тоді, коли мають місце обидві події A і B одночасно. Наприклад, подія C = {виймуть туз черви} є твором подій A і B, де A = {вийнята карта червоної масті}, а B = {виймуть туз}.
Сумою A + B подій A і B називають подія, яке відбувається тільки тоді, коли має місце або подія A, або подія B, або обидва разом.
Різниця A-B подій A і B називають подія, яке відбувається тільки тоді, коли має місце подія A, але не має місце подія B.
подія 
Називається протилежним до події 
, Якщо воно відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається . Іншими словами, протилежне подія складається з тих елементарних фіналів безлічі , При яких подія не відбувається, т. е. 
.
Дії над подіями стають більш наочними, якщо надати їм геометричну інтерпретацію у вигляді діаграм Ейлера-Венна:
Приклад 14.2. Експеримент полягає в підкиданні двох гральних кісток. Позначимо через X суму очок, що випадали на обох кістках. Описати наступні події A + B, AB, AB, B-A, якщо A = {X кратно трьом} = {3; 6; 9; 12} і B = {X непарній} = {3, 5, 7; 9; 11}. тоді
A + B = {3, 5, 6, 7, 9; 11; 12},
A-B = {6; 12},
AB = {3; 9},
B-A = {5; 7; 11}.
Приклад 14.3. Нехай є колода карт, з якої виймається одна карта. Описати події AB, 
, A + B, A-B, 
, Якщо A = {вийнята карта - туз}, B = {вийнята карта - черви}.
відповідь:
AB = {вийнята карта - K туз},
= {Вийнята карта - чирвова, але не туз},
A + B = {вийнята карта - або туз, або черв'яки},
A-B = {вийнята карта -туз, але не черви},
= {Вийнята карта - НЕ туз і не черви}.
Використовуючи операції над подіями, можна описувати більш складні події. Наприклад, нехай A, B, C - три події, які спостерігаються в деякому експерименті. Використовуючи алгебру подій, опишемо подія, відбулося тільки подія А. Це означає, відбулася подія A, але події B і С не відбулися. Це можна записати наступним чином
.
Аналогічно, можна описати події: відбулося тільки одна подія, що не важливо, яке або: відбулося хоча б одна подія. Все це можна коротко записати так
,
.
Приклад 14.4. Нехай ялинкова гірлянда має такий вигляд
Опишіть подію, що: а) ланцюг буде працювати (т. Е. Загориться хоча б одна лампочка), б) є розрив ланцюга (т. Е. Жодна лампочка не займеться).
Відповідь: а) Для того щоб ланцюг працювала, потрібно щоб працювала лампочка А і (операція множення) верхня або нижня гілка гірлянди (операція додавання). Верхня гілка буде працювати, якщо будуть працювати і лампочка B, і лампочка C (операція множення). Використовуючи алгебру подій все це можна записати у вигляді формули:
.
Б) Для того щоб ланцюг не працювала, потрібно щоб не працювала лампочка А чи (операція додавання) верхня і нижня гілка гірлянди (операція множення). Верхня гілка не працюватиме, якщо не будуть працювати або лампочка B, або лампочка C (операція додавання). Використовуючи алгебру подій все це можна записати у вигляді формули (для позначення, що лампочка не працюємо ми будемо використовувати символ протилежної події):
.
вправи
14.1. Є колода карт. Виймається одна карта. Опишіть події 
і 
якщо A = {карта пікової масті}, B = {карта - дама}.
відповідь: 
= {Вийнята карта - або не піки, або не дама}, 
= {Вийнята карта - або не піки, або дама}.
14.2. В урні знаходиться 12 куль. Всі вони пронумеровані від 1 до 12. Опишіть подію 
і (A-B) + (B-A), якщо A = {куля з номером кратним 3}, B = {куля з номером менше 5}.
відповідь: 
= {5, 7, 8, 10, 11}, (A-B) + (B-A) = {6, 9, 12, 1, 2, 4}.
14.3. В урні знаходиться 12 куль. Всі вони пронумеровані від 1 до 12. Опишіть подію 
і 
, Якщо А = {куля, з номером кратним 4}, B = {куля, з номером не менше 6}.
відповідь: 
= {8, 12, 1, 2, 3, 5}, 
= {8, 12}.
14.4. Є електричний ланцюг. Опишіть, що: а) ланцюг буде працювати, б) є розрив ланцюга.
1) 
2) 
.
Відповідь: 1) 
, 
;
2) 
, 
.
14.5. Є електричний ланцюг. Опишіть, що: а) ланцюг буде працювати, б) є розрив ланцюга.
1) 
2) 
.
Відповідь: 1) 
, 
;
2) 
, 
.
<
