Формула Піка

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Формула Піка (або теорема Піка) - класичний результат комбінаторної геометрії і геометрії чисел , згідно якому площа багатокутника з цілочисельними вершинами [1] дорівнює

В

+ Г / 2 - 1,

де В - кількість цілочисельних точок всередині багатокутника, а Г - кількість цілочисельних точок на кордоні багатокутника.

Зокрема, площа трикутника з вершинами у вузлах і не містить вузлів ні всередині, ні на сторонах (крім вершин), дорівнює 1/2. Цей факт дає геометричне доказ формули для різниці відповідних дробів ланцюгового дробу .

доведено Георгом Піком в 1899 році .

де підсумовування ведеться за всіма цілочисельним точкам v ∈ M {\ displaystyle v \ in M} і α (v) {\ displaystyle \ alpha (v)} тілесний кут M {\ displaystyle M} при v {\ displaystyle v} ; якщо v {\ displaystyle v} лежить всередині M {\ displaystyle M} , То вважається що α (v) = 4 ⋅ π {\ displaystyle \ alpha (v) = 4 \ cdot \ pi} . [2] V (M) = 1 ω n ⋅ Σ v α (v), {\ displaystyle V (M) = {\ tfrac {1} {\ omega _ {n}}} \ cdot \ sum _ {v} \ alpha ( v),} де ω n {\ displaystyle \ omega _ {n}} позначає площа одиничної сфери в E n {\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}} .

1. ↑ Точка координатної площини називається целочисленной, якщо обидві її координати цілі .
2. ↑ Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne, and Sinai Robins. The Ice Cube Proof (англ.) // The Mathematical Intelligencer . - 2014. - Vol. 36, no. 4. - P. 1-3.