п.1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Нехай дана пряма L на координатної площині Оху.
Визначення. Кутом нахилу прямої до осі абсцис називається кут повороту осі абсцис навколо будь-якої її точки проти годинникової стрілки до положення паралельності (або збігу) з даної прямої.
рис.1.
з визначення випливає, що кут нахилу 
прямий L до осі Ох може змінюватися від нуля до 
: 
. якщо пряма 
, то 
.
нехай
(1)
- загальне рівняння прямої L, де 
- нормальний вектор прямої L і 
. тоді 
і 
(Див. Рис.1). Висловимо у з рівняння (1)
.
, 
.
Рівняння прямої L приймає вид:
.
Визначення. Рівняння прямої виду
(2)
називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, а коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом даної прямої.
Теорема. У рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом
кутовий коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі абсцис:
. (3)
Доведення. 1) Якщо пряма , то і 
. З іншого боку, її нормальний вектор 
і 
.
тоді 
і, отже, , Ч.т.д.
2) Нехай 
, тоді 
, 
і 
. Нехай F - точка перетину прямої L з віссю абсцис. тоді
, 
.
Опишемо коло одиничного радіуса з центром в точці F, а в точці осі Ох з координатою 
проведемо дотичну m до цього кола. Див. Рис.2.
рис.2.
Виберемо позитивний напрямок на прямій m, так, щоб 
. Тоді вісь m є віссю тангенсов для даної одиничної (тригонометричної) окружності.
Нехай Р - точка перетину прямої L з віссю тангенсов m. Тоді, з одного боку, 
, де - кут нахилу прямої L до осі Ох, а, з іншого боку, точка 
і 
, Звідки і слід рівність 
, Ч.т.д.
Теорема доведена.
Зауважимо, що наведене доказ належить автору цих лекцій. Перевагою цього докази є те, що воно не залежить ні від величини кута нахилу 
, Ні від величини коефіцієнта 
.
На закінчення відзначимо, що коефіцієнт b в рівнянні (2) дорівнює величині відрізка, що відсікається прямою від осі ординат (див. Рис.2).
<
